Halbring (algebraische Struktur)

Halbring

Ein Halbring (engl.: Semiring) ist eine algebraische Struktur ${\displaystyle (H,+,\cdot )}$ mit einer (nichtleeren) Menge ${\displaystyle H}$ und mit zwei zweistelligen Verknüpfungen ${\displaystyle +\colon H\times H\to H}$ (Addition) und ${\displaystyle \cdot \colon H\times H\to H}$ (Multiplikation), für die gilt:

1. ${\displaystyle (H,+)}$ ist eine kommutative Halbgruppe.
2. ${\displaystyle (H,\cdot )}$ ist eine Halbgruppe.
3. Es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle ${\displaystyle a,b,c\in H}$ gilt

${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$   sowie   ${\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b.}$

Ist auch ${\displaystyle (H,\cdot )}$ kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Halbring.

Nullelement

Besitzt ein Halbring ${\displaystyle (H,+,\cdot )}$ ein neutrales Element ${\displaystyle 0\in H}$ bezüglich der Addition, d. h.

${\displaystyle 0+a=a+0=a}$ für alle ${\displaystyle a\in H,}$

so nennt man dieses das Nullelement oder kurz die Null des Halbringes.

Die Null ${\displaystyle 0}$ eines Halbringes heißt absorbierend (bezüglich der Multiplikation), falls

${\displaystyle 0\cdot a=a\cdot 0=0}$ für alle ${\displaystyle a\in H.}$

Ein Halbring ${\displaystyle (H,+,0,\cdot )}$ mit einer absorbierenden Null heißt auch Hemiring.

Einselement

Wenn ein Halbring ein neutrales Element ${\displaystyle 1\in H}$ bezüglich der Multiplikation enthält, also

${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ für alle ${\displaystyle a\in H,}$

dann nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Halbringes.

Ein Hemiring ${\displaystyle (H,+,0,\cdot ,1)}$ mit einer Eins ${\displaystyle 1\neq 0}$ heißt auch Bewertungshalbring.

Dioid

Ein Hemiring ${\displaystyle (D,+,0,\cdot ,1)}$ mit Eins und idempotenter Addition wird als Dioid bezeichnet, d. h. bei einem Dioid sind ${\displaystyle (D,+,0)}$ und ${\displaystyle (D,\cdot ,1)}$ u. a. Monoide.