Heston-Modell

Das Heston-Modell ist ein auf Steven Heston zurückgehendes mathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen. Im Gegensatz zum älteren Black-Scholes-Modell erlaubt das Heston-Modell, eine stochastische Volatilität anzunehmen. Es handelt sich demnach um ein stochastisches Volatilitätsmodell.

Das Heston-Modell bietet den Vorteil mit wenigen Eingaben den Preis von Kaufoptionen.

Definition

Seien ${\displaystyle W,B}$ zwei eindimensionale Wienerprozesse mit ${\displaystyle \rho ={\operatorname {d} \!\langle W,B\rangle _{t} \over \operatorname {d} \!t}}$ und Zinsrate ${\displaystyle r\geq 0}$. Der Preisprozess ${\displaystyle S}$ folge der Dynamik ${\displaystyle {\operatorname {d} \!S_{t} \over S_{t}}=r\operatorname {d} \!t+{\sqrt {v_{t}}}\operatorname {d} \!W_{t}}$ wobei die Volatilität durch ${\displaystyle \operatorname {d} \!v_{t}=\alpha (\beta -v_{t})\operatorname {d} \!t+\gamma {\sqrt {v_{t}}}\operatorname {d} \!B_{t}}$ mit Startbedingung ${\displaystyle v_{o}=v>0}$ und Parametern ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma >0}$ gegeben ist.

Eigenschaften

Üblicherweise sind die treibenden Rauschgrößen ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle B}$ negativ korreliert, also ${\displaystyle \rho <0}$, was dem Hebeleffekt entspricht. Das entspricht der Beobachtung, dass die Volatilität üblicherweise niedriger ist bei steigenden Kursen und größer bei fallenden (Verkaufspanik).

Die Dynamik der Volatilität entspricht einer Wurzeldiffusion und nach einem Satz von Yamada und Watanabe existiert eine starke Lösung der stochastischen Differentialgleichung der Wurzeldiffusion, die sich als Funktional des Wienerprozesses ${\displaystyle B}$ formulieren lässt. Dieses Funktional entspricht dem Vega. Insbesondere ist diese Lösung nicht-negativ. Damit die Lösung nicht vorhersagbar wird, muss sie sogar strikt positiv sein, wofür die Feller-Bedingung erfüllt werde:

Satz. Setze ${\displaystyle d:={\frac {4\alpha \beta }{\gamma ^{2}}}}$. Wenn ${\displaystyle d>2}$, dann gilt ${\displaystyle \inf\{t\geq 0\vert V_{t}=0\}=\infty }$ fast sicher.

Die Wurzeldiffusion erfüllt im deterministischen Teil den Effekt der Mittelwertrückkehr, wobei ${\displaystyle \alpha }$ die Intensität und ${\displaystyle \beta }$ den langzeitlichen Mittelwert darstellen. Der Faktor ${\displaystyle \gamma }$ wird auch die "Volatilität der Volatilität" (englisch vol of vol) genannt.

Satz. Ist ${\displaystyle d\in \mathbb {N} \backslash \{0,1\}}$, dann ist ${\displaystyle (v_{t})_{t\geq 0}\sim {\Bigl (}\sum _{i=1}^{d}(X_{t}^{i})^{2}{\Bigr )}_{t\geq 0}}$ in Verteilung für ${\displaystyle d}$ unabhängige Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Dynamik ${\displaystyle \operatorname {d} \!X_{t}^{i}={\frac {\gamma }{2}}\operatorname {d} \!W_{t}^{i}-{\frac {\alpha }{2}}X_{t}^{i}\operatorname {d} \!t}$ und Startbedingung ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}(X_{0}^{i})^{2}=v_{0}}$.

Das Heston-Modell ist das zeitstetige Grenzmodell des GARCH-Modells von Heston und Nandi.

Bewertungsformel

Mit ${\displaystyle r\equiv 0}$ ist $${\displaystyle \mathbb {E} ^{\ast }[(S_{T}-K)^{+}]=S_{0}p_{1}(S_{0},v_{0},T)-Kp_{2}(S_{0},v_{0},T)}$$mit

${\displaystyle p_{j}(s,v,T)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {Re} \left({\frac {\mathrm {e} ^{-iz\log K}{\hat {p}}_{j}(s,v,T,z)}{iz}}\right)\operatorname {d} \!z}$

und

${\displaystyle {\hat {p}}_{j}(s,v,T,z)=\exp \left\{A_{j}(T,z)+B_{j}(T,z)v+iz\log s\right\}}$

mit

${\displaystyle A_{j}(T,z)={\frac {\alpha \beta }{\sigma ^{2}}}\left((b_{j}-iz\rho \gamma +d_{j})T-2\log \left({\frac {1-g_{j}\mathrm {e} ^{d_{j}T}}{g_{j}}}\right)\right)}$

und

${\displaystyle B_{j}(T,z)={\frac {b_{j}-iz\rho \gamma +d_{j}}{\gamma ^{2}}}{\frac {1-\mathrm {e} ^{d_{j}T}}{1-g_{j}\mathrm {e} ^{d_{j}T}}}}$

wobei ${\displaystyle b_{1}=\alpha -\rho \gamma }$, ${\displaystyle b_{2}=\alpha }$ sowie

${\displaystyle d_{j}={\sqrt {(iz\rho \gamma -b_{j})^{2}-\gamma ^{2}(i2z\mu _{j}-z^{2})}}}$

und

${\displaystyle g_{j}={\frac {b_{j}-iz\rho \gamma +d_{j}}{b_{j}-iz\rho \gamma -d_{j}}}}$

mit ${\displaystyle \mu _{1}={\frac {1}{2}}=-\mu _{2}}$ und mit ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit.

Erweiterung

Das Heston-Modell wurde von Christian Gouriéroux und Razvan Sufana 2004 auf mehrere risikobehaftete Wertpapiere mithilfe des Wishart-Prozesses erweitert.

Das Heston-Modell leidet unter einer gewissen Starrheit, wodurch die Terminstruktur der Volatilität schlecht abgebildet wird. Dieser Nachteil wird durch das Bergomi-Modell (auch englisch forward-variance model) behoben. Damit lassen sich schließlich auch verschiedene exotische Optionen bepreisen.

Literatur

• Steven L. Heston: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 1993 (6), 2, S. 327–343. (PDF)

Einzelnachweise

1. ↑ Steven L. Heston, Saikat Nandi: A Closed-Form GARCH Option Valuation Model. In: The Review of Financial Studies. Band 13, Nr. 3. [Oxford University Press, Society for Financial Studies], 2000, ISSN 0893-9454, S. 585–625, JSTOR:2645997 (englisch). 
2. ↑ Christian Gouriéroux, Razvan Sufana: Derivative Pricing with Multivariate Stochastic Volatility: Application to Credit Risk (= Les Cahiers du CREF. Band 04, Nr. 09). Montréal Mai 2004 (englisch, Online). 
3. ↑ Nicole Bäuerle, Zejing Li: Optimal Portfolios for Financial Markets with Wishart Volatility. In: Journal of Applied Probability. Band 50, Nr. 4, Dezember 2013, ISSN 0021-9002, S. 1025–1043, doi:10.1239/jap/1389370097 (englisch, Online [abgerufen am 3. Oktober 2026]). 
4. ↑ Lorenzo Bergomi: Smile Dynamics II. März 2005 (englisch, Online).