Hilbert-C*-Modul

Direkte Summen

Direkte Summen ${\displaystyle E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n}}$ von Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln sind mit der Definition ${\displaystyle \textstyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle$ :=\sum _{i=1}^{n}\langle x_{i},y_{i}\rangle } offenbar wieder Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln.

Algebren von Operatoren

Für zwei Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ sei ${\displaystyle L_{B}(E,F)}$ die Menge aller Operatoren ${\displaystyle T:E\rightarrow F}$, für die es einen Operator ${\displaystyle T^{*}:F\rightarrow E}$ gibt, so dass ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{F}=\langle x,T^{*}y\rangle _{E}}$ gilt für alle ${\displaystyle x\in E}$ und ${\displaystyle y\in F}$. Man zeigt, dass solche Operatoren ${\displaystyle B}$-linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren ${\displaystyle E\rightarrow F}$ bilden. ${\displaystyle L_{B}(E):=L_{B}(E,E)}$ ist mit der Operatornorm und der Involution ${\displaystyle T\mapsto T^{*}}$ eine C*-Algebra. Im Spezialfall ${\displaystyle E=B}$ ist ${\displaystyle L_{B}(B)=M(B)}$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra von ${\displaystyle B}$.

Gewisse Operatoren aus ${\displaystyle L_{B}(E,F)}$ lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind ${\displaystyle x\in F}$ und ${\displaystyle y\in E}$, so sei ${\displaystyle \theta _{x,y}:E\rightarrow F,\,\theta _{x,y}(z):=x\langle y,z\rangle }$. Man bestätigt leicht die Formel ${\displaystyle \theta _{x,y}^{*}=\theta _{y,x}}$ und somit ${\displaystyle \theta _{x,y}\in L_{B}(E,F)}$. Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit ${\displaystyle K_{B}(E,F)}$ und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von ${\displaystyle E}$ nach ${\displaystyle F}$, auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man ${\displaystyle T\theta _{x,y}=\theta _{Tx,y}}$ für ein ${\displaystyle T\in L_{B}(F)}$, woraus ${\displaystyle L_{B}(F)K_{B}(E,F)\subset K_{B}(E,F)}$ folgt, und ganz ähnlich auch ${\displaystyle K_{B}(E,F)L_{B}(E)\subset K_{B}(E,F)}$. Damit ist ${\displaystyle K_{B}(E)\subset L_{B}(E)}$ ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist ${\displaystyle K_{\mathbb {C} }(H_{\mathbb {C} })}$ das Ideal der kompakten Operatoren auf ${\displaystyle \ell ^{2}}$.

Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra ${\displaystyle B}$ und jeden Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul ${\displaystyle E}$ ist ${\displaystyle L_{B}(E)}$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra ${\displaystyle M(K_{B}(E))}$. Insbesondere gibt es einen *-Isomorphismus ${\displaystyle L_{B}(H_{B})\cong M(K_{\mathbb {C} }\otimes B)}$, der ${\displaystyle K_{B}(H_{B})}$ auf ${\displaystyle K_{\mathbb {C} }\otimes B}$ abbildet.

Unitäre Äquivalenz

Zwei Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ heißen unitär äquivalent, in Zeichen ${\displaystyle E\cong F}$, wenn eine bijektive, lineare Abbildung ${\displaystyle U\in L_{B}(E,F)}$ gibt mit ${\displaystyle \langle U(x),U(y)\rangle _{F}=\langle x,y\rangle _{E}}$ für alle ${\displaystyle x,y\in E}$.

Innere Tensorprodukte

Es seien ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul, ${\displaystyle F}$ ein Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul und ${\displaystyle \varphi :B\rightarrow L_{B}(F)}$ ein *-Homomorphismus. Durch die Formel ${\displaystyle by:=\varphi (b)(y)}$ wird ${\displaystyle F}$ zu einem Links-${\displaystyle B}$-Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$ bilden, das durch die Definition ${\displaystyle (x\otimes _{B}y)a:=x\otimes _{B}ya}$ zu einem Rechts-${\displaystyle A}$-Modul wird. Durch die Formel

${\displaystyle \langle x_{1}\otimes _{B}y_{1},x_{2}\otimes _{B}y_{2}\rangle$ :=\langle y_{1},\varphi (\langle x_{1},x_{2}\rangle _{E})(y_{2})\rangle _{F}}

erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$, die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert-${\displaystyle A}$-Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt, es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum ${\displaystyle N:=\{z\in E\otimes _{B}F;\langle z,z\rangle =0\}}$ der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach ${\displaystyle E\otimes _{B}F/N}$ übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul, den man mit ${\displaystyle E\otimes _{\varphi }F}$ bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

Äußeres Tensorprodukt

Es seien wieder ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul und ${\displaystyle F}$ ein Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {C} }F}$ mittels der Definition

${\displaystyle (x\otimes y)\cdot (b\otimes a):=xb\otimes ya,\quad x\in E,y\in F,a\in A,b\in B}$

ein Rechts-${\displaystyle B\otimes A}$-Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus

${\displaystyle \langle x_{1}\otimes _{\mathbb {C} }y_{1},x_{2}\otimes _{C}y_{2}\rangle$ :=\langle x_{1},x_{2}\rangle \otimes \langle y_{1},y_{2}\rangle }

eine Sesquilinearform. Ist ${\displaystyle B{\hat {\otimes }}A}$ das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert-${\displaystyle B{\hat {\otimes }}A}$-Modul, den man mit ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}F}$ bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

Pushout

Ist ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul und ${\displaystyle \varphi :B\rightarrow A}$ ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere ${\displaystyle N_{\varphi }:=\{x\in E;\varphi (\langle x,x\rangle )=0\}}$. Ist ${\displaystyle q:E\rightarrow E_{\varphi }:=E/N_{\varphi }}$ die Quotientenabbildung, so wird ${\displaystyle E_{\varphi }}$ durch die Definitionen

${\displaystyle q(x)a:=q(xb)}$, wobei ${\displaystyle b\in B}$ mit ${\displaystyle \varphi (b)=a}$

${\displaystyle \langle q(x),q(y)\rangle$ :=\varphi (\langle x,y\rangle )} ,

deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul, den man den Pushout von ${\displaystyle E}$ bzgl. ${\displaystyle \varphi }$ nennt. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle E_{\varphi }\cong E\otimes _{\varphi }A}$, indem man ${\displaystyle A}$ als Unteralgebra von ${\displaystyle M(A)\cong L_{B}(A)}$ auffasst.