Hilbert-Symbol

Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper ${\displaystyle K}$ mit der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle K^{*}}$ ist es definiert als die folgende Abbildung:

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{*}\times K^{*}&\rightarrow \{-1,1\}\\(a,b)&\mapsto {\begin{cases}1,&{\text{falls}}\ z^{2}=ax^{2}+by^{2}\ {\text{eine nicht}}{\mbox{-}}{\text{triviale Lsg.}}\ (x,y,z)\in K^{3}\ {\text{besitzt}};\\-1,&{\text{sonst}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn ${\displaystyle x=y=z=0}$ gilt.

Eigenschaften

• Ein Element ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K^{*}}$ ist ein Quadrat genau dann, wenn ${\displaystyle (a,b)=1}$ für alle ${\displaystyle b\in K^{*}}$ gilt.
• Für alle ${\displaystyle a,b}$ in ${\displaystyle K^{*}}$ gilt: ${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$.
• Für alle ${\displaystyle a,b_{1},b_{2}}$ in ${\displaystyle K^{*}}$ gilt: ${\displaystyle (a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})(a,b_{2})}$.
• Für alle ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K^{*}}$ mit ${\displaystyle a\neq 1}$ gilt ${\displaystyle (a,1-a)=1}$.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: A course in arithmetic (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 7). Springer, New York NY u. a. 1973, ISBN 3-540-90040-3.

Weblinks

• Todd Rowland: Hilbert Symbol. In: MathWorld (englisch).