Immanente

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.

Sei $λ = (λ_{1}, λ_{2}, \dots)$ eine Partition von $n$ und $χ_{λ}$ der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe $𝔖_{n}$ . Die Immanente mit dem Charakter $χ_{λ}$ einer $n \times n$ -Matrix $A = {(a_{i j})}_{i j}$ wird definiert als

{Imm}_{χ} (A) := \sum_{σ \in 𝔖_{n}} χ (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i, σ (i)}

Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.

Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit $χ_{λ} = sgn$ , dem alternierenden Charakter.

Beispielsweise gibt es für $3 \times 3$ -Matrizen drei irreduzible Darstellungen von $𝔖_{3}$ , wie folgende Tabelle zeigt.

$𝔖_{3}$	$e$	$(1 2)$	$(1 2 3)$
$χ_{1}$	1	1	1
$χ_{2}$	1	−1	1
$χ_{3}$	2	0	−1

Wie oben erwähnt ergeben $χ_{1}$ und $χ_{2}$ die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit $χ_{3}$ die Abbildung

{Imm}_{χ_{3}} (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = 2 a_{11} a_{22} a_{33} - a_{12} a_{23} a_{31} - a_{13} a_{21} a_{32}

Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

Belege

Dudley Littlewood, Archibald Richardson: Group characters and algebras. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. 233. Jahrgang, Nr. 721–730, 1934, S. 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015 (englisch).

Dudley Littlewood: The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. 2. Auflage. Oxford Univ. Press (Nachdruck bei AMS, 2006), 1950, S. 81 (englisch).