Immersion (Mathematik)

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F : M \to N$ zwischen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ , wenn der Pushforward $F_{* p} : T_{p} M \to T_{F (p)} N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p \in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus $F$ eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu $M$ diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von $N .$

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt $F_{*} : T_{p} ℝ^{m} \to T_{F (p)} ℝ^{n}$ nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix $D F (p) : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Immersion in Mannigfaltigkeiten

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung $F : M \to N$ genau dann eine Immersion, wenn für alle $p \in M$ der Rang der linearen Abbildung $F_{*}$ gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit $M$ ist, also gilt

rang F_{p} = \dim (Bild (F_{* p})) = \dim M .

Reguläre Homotopie

Zwei Immersionen $F_{0}, F_{1} : M \to N$ heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie $F : M \times [0, 1] \to N$ gibt mit $F (m, 0) = F_{0} (m)$ und $F (m, 1) = F_{1} (m)$ für alle $m \in M$ , so dass für jedes $t \in [0, 1]$ die Abbildung

F_{t} : {\begin{matrix} M & \to N \\ m & \mapsto F (m, t) \end{matrix}

wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.

Siehe auch

Submersion

Literatur

John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.