Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen $f_{i}$ ) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition

Gegeben seien Abbildungen $f_{i} : Ω \to Ω_{i}$ und eine Familie von Messräumen $(Ω_{i}, 𝒜_{i})$ für eine nichtleere Indexmenge $I$ . Dann heißt die σ-Algebra

ℐ (f_{i}, i \in I) := σ (⋃_{i \in I} f_{i}^{- 1} (𝒜_{i}))

auf $Ω$ die Initial-σ-Algebra der Abbildungen $(f_{i})_{i \in I}$ oder die von den Abbildungen $(f_{i})_{i \in I}$ erzeugte σ-Algebra, wobei $σ (\cdot)$ den σ-Operator darstellt.

Eigenschaften

Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf $Ω$ , bezüglich derer alle Funktionen $(f_{i})_{i \in I}$ messbar sind.
Sind $ℰ_{i}$ Erzeuger von $𝒜_{i}$ , so ist $⋃_{i \in I} f_{i}^{- 1} (ℰ_{i})$ ein Erzeuger von $ℐ (f_{i}, i \in I)$ .

Beispiele

Für eine einzelne Abbildung $f : Ω \to Ω^{'}$ in einen Messraum $(Ω^{'}, 𝒜^{'})$ ist bereits $f^{- 1} (𝒜^{'})$ eine σ-Algebra, es gilt also $ℐ (f) = f^{- 1} (𝒜^{'})$ . Ist beispielsweise $f$ eine konstante Funktion, so ist $ℐ (f)$ die triviale σ-Algebra ${∅︀, Ω}$ . Für die Indikatorfunktion $χ_{A}$ einer Teilmenge $A \subset Ω$ gilt $ℐ (χ_{A}) = {∅︀, A, A^{𝖼}, Ω}$ .
Ist $X \subset Y$ und $(Y, 𝒜)$ ein Messraum sowie $i : X \to Y, i (x) = x$ die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: $ℐ (i) = 𝒜 |_{X}$ .
Sei $Ω = \prod_{i \in I} Ω_{i}$ das kartesische Produkt von Mengen $Ω_{i}$ für eine nichtleere Indexmenge $I$ und seien $(Ω_{i}, 𝒜_{i})$ Messräume. Wählt man als Abbildungen $π_{i} : Ω \to Ω_{i}, π_{i} (ω) = ω_{i}$ die Projektionen auf die $i$ -te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der $𝒜_{i}$ :

ℐ (π_{i}, i \in I) = ⨂_{i \in I} 𝒜_{i}

.

Verwendung

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.