Winkelsumme

Beispiele

Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für Drei-, Vier- und Fünfecke:

• für Dreiecke (${\displaystyle n=3}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(3-2)\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }}$
• für Vierecke (${\displaystyle n=4}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }}$
• für Fünfecke (${\displaystyle n=5}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

Für nicht notwendig regelmäßige Fünfsterne gilt:

• Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°.

Geometrischer Beweis

Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über Winkel an parallelen Geraden an und setzt die fünf Winkel zu einem gestreckten Winkel der Weite 180° wie abgebildet zusammen.

Algebraischer Beweis

Das Dreieck ${\displaystyle BDF}$ hat die Innenwinkelsumme:

${\displaystyle \epsilon +\beta +\phi _{2}=180^{\circ }}$ (1)

Das Viereck ${\displaystyle ACDE}$ hat die Innenwinkelsumme:

${\displaystyle \alpha +\gamma +\phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{3}+\delta =360^{\circ }}$ (2)

Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung:

${\displaystyle \epsilon +\beta +\phi _{2}+\alpha +\gamma +\phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{3}+\delta =180^{\circ }+360^{\circ }}$ (3)

${\displaystyle (\phi _{1},\phi _{2})}$ und ${\displaystyle (\phi _{2},\phi _{3})}$ sind Nebenwinkelpaare mit:

${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{2}+\phi _{3}=360^{\circ }}$ (4)

Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung:

${\displaystyle \epsilon +\beta +\alpha +\gamma +\delta =180^{\circ }}$

Herleitung der Formel

Dreiecke

Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den Axiomen der euklidischen Geometrie (siehe Grafik). Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den Elementen des Euklid überliefert, der Mathematikhistoriker Thomas Heath hält es aber für möglich, dass sie bereits Thales von Milet bekannt war, wie es auch Moritz Cantor annahm.