Irrationale Rotationsalgebra

Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.

Konstruktion

Im Folgenden sei ${\displaystyle \theta }$ eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ mittels ${\displaystyle t\mapsto e^{2\pi it}}$ mit dem Einheitskreis ${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|=1\}} identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle Uf\,:=\,zf}$, wobei ${\displaystyle z(t)=e^{2\pi it}}$

und

${\displaystyle Vf(t)\,:=\,f(t-\theta )\,.}$

${\displaystyle U}$ ist ein Multiplikationsoperator und ${\displaystyle V}$ rotiert eine Funktion um den Winkel ${\displaystyle \theta }$.

Die von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ erzeugte C*-Algebra ${\displaystyle C^{*}(U,V)\subset B(L^{2}(\mathbb {T} ))}$ heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel ${\displaystyle \theta }$ und wird mit ${\displaystyle A_{\theta }}$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Leicht bestätigt man ${\displaystyle UV=e^{2\pi i\theta }VU}$, in der Tat ist

${\displaystyle UVf(t)=U(Vf)(t)=z(t)Vf(t)}$

${\displaystyle =z(t)f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }z(t-\theta )f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }(zf)(t-\theta )}$

${\displaystyle =e^{2\pi i\theta }(Uf)(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }VUf(t)}$.

• Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ und ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ erzeugt wird, die die Relation ${\displaystyle {\tilde {U}}{\tilde {V}}=e^{2\pi i\theta }{\tilde {V}}{\tilde {U}}}$ erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus ${\displaystyle A_{\theta }\rightarrow A}$ mit ${\displaystyle U\mapsto {\tilde {U}}}$ und ${\displaystyle V\mapsto {\tilde {V}}}$.

• ${\displaystyle A_{\theta }}$ ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer ${\displaystyle \{0\}}$ und sich selbst.

• Es gibt eine eindeutige Spur ${\displaystyle \tau :A_{\theta }\rightarrow \mathbb {C} }$, das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional ${\displaystyle \tau :A_{\theta }\rightarrow \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \tau (a^{*}a)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle a\in A_{\theta }}$, ${\displaystyle \tau (ab)=\tau (ba)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A_{\theta }}$ und ${\displaystyle \tau (I)=1}$, wobei ${\displaystyle I}$ das Einselement in ${\displaystyle A_{\theta }}$ sei.

• Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in ${\displaystyle A_{\theta }}$.

• Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

Alternative Konstruktion

Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {Z} }$ mit der Orthonormalbasis ${\displaystyle (e_{n})_{n_{\in }\mathbb {Z} }}$ vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren ${\displaystyle U,V\in B(\ell ^{2})}$ durch:

${\displaystyle Ue_{n}\,=\,e_{n+1}}$ (zweiseitiger Shift),

${\displaystyle Ve_{n}\,=\,e^{-2\pi in\theta }e_{n}}$ (unendliche Diagonalmatrix).

Dann bestätigt man leicht ${\displaystyle UVe_{n}=e^{-2\pi in\theta }e_{n+1}=e^{2\pi i\theta }VUe_{n}}$, woraus ${\displaystyle UV=e^{2\pi i\theta }VU}$ folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus ${\displaystyle A_{\theta }\cong C^{*}(U,V)\subset B(\ell ^{2})}$.

K-Theorie

Nach einem Satz von Marc Rieffel gibt es zu jedem ${\displaystyle \alpha \in (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1]}$ eine Projektion ${\displaystyle P\in A_{\theta }}$ mit ${\displaystyle \tau (P)=\alpha }$, wobei ${\displaystyle \tau }$ die eindeutige Spur auf ${\displaystyle A_{\theta }}$ sei.

Da ${\displaystyle (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} ,(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap \mathbb {R} ^{+},(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1])}$ eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }}$, die diese Gruppe als K₀-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra ${\displaystyle A_{\theta }}$, die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }}$ in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung ${\displaystyle A_{\theta }\rightarrow {\mathcal {A}}_{\theta }}$ konstruieren. Daraus folgt zunächst ${\displaystyle K_{0}(A_{\theta })\cong \mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} }$ und dann:

• Zwei irrationale Rotationsalgebren ${\displaystyle A_{\theta }}$ und ${\displaystyle A_{\eta }}$ sind genau dann isomorph, wenn ${\displaystyle \eta =\pm \theta \,\mathrm {mod} \,\mathbb {Z} }$ ist.

Kreuzprodukt

Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Aut} (C(\mathbb {T} ))}$ durch ${\displaystyle (\alpha (f))(t)\,:=\,f(t-\theta )}$ definiert und ist ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {Z} \rightarrow \mathrm {Aut} (C(\mathbb {T} )),\,n\mapsto \alpha ^{n}} , so ist ${\displaystyle (C(\mathbb {T} ),\mathbb {Z} ,\sigma )}$ ein C*-dynamisches System und es ist ${\displaystyle A_{\theta }\cong C(\mathbb {T} )\ltimes _{\sigma }\mathbb {Z} }$.

Einzelnachweise

1. ↑ I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras, J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166
2. ↑ M. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429
3. ↑ M. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra, Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118

K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1:

1. ↑ Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra
2. ↑ Theorem VI.1.4
3. ↑ Satz VI.1.3
4. ↑ Korollar VI.5.3
5. ↑ Beispiel VIII.1.1