Reflexive Relation

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation $R$ auf einer Menge ist gegeben, wenn $x R x$ für alle Elemente $x$ der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt $R$ dann reflexiv.

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung $x R x$ für kein Element $x$ der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung $x R x$ für einige Elemente $x$ der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition

Ist $M$ eine Menge und $R \subseteq M \times M$ eine zweistellige Relation auf $M$ , dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

R

ist reflexiv :

⟺ \forall x \in M : x R x

R

ist irreflexiv :

⟺ \forall x \in M : \neg x R x

Beispiele

Reflexiv

Die Kleiner-Gleich-Relation $\leq$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x \leq x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $\geq$ .

Die gewöhnliche Gleichheit $=$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x = x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ zwischen Mengen ist reflexiv, da stets $A \subseteq A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

Irreflexiv

Die Kleiner-Relation $<$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x < x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $>$ .

Die Ungleichheit $\neq$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x \neq x$ gilt.

Die echte Teilmengenbeziehung $\subset$ zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie $A \subset A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Weder reflexiv noch irreflexiv

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

x R y : ⟺ y = x^{2}

Grund: Für $x := 1$ gilt $x R x$ , für $x := 2$ gilt $\neg x R x$ .

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation $R$ auf einer Menge $M$ kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von $M$ . Vom Knoten $a$ zum Knoten $b$ wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil $a ⟶ b$ ) gezogen, wenn $a R b$ gilt.

Die Reflexivität von $R$ lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten $a$ gibt es eine Schleife $\overset{a}{↻}$ . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten $a$ eine Schleife $\overset{a}{↻}$ gibt.

Eigenschaften

Mit Hilfe der identischen Relation $I d_{M}$ (die aus allen Paaren $(x, x)$ besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:
$R$ ist reflexiv $⟺ I d_{M} \subseteq R$

$R$ ist irreflexiv $⟺ I d_{M} \cap R = \emptyset$

Ist die Relation $R$ reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation $R^{- 1}$ . Beispiele: die zu $\leq$ konverse Relation ist $\geq$ , die zu $<$ konverse ist $>$ .

Ist die Relation $R$ reflexiv, dann ist die komplementäre Relation $R^{c}$ irreflexiv. Ist $R$ irreflexiv, dann ist $R^{c}$ reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch
$x R^{c} y : ⟺ \neg x R y$ .

Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ reflexive relation, Eintrag im nLab. (englisch)

[1] reflexive relation, Eintrag im nLab. (englisch)