Isodynamischer Punkt

Die beiden isodynamischen Punkte gehören zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks.

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Halbierenden seiner Innen- und Außenwinkel. U_a sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von ${\displaystyle \alpha }$ mit der Geraden BC, V_a der Schnittpunkt der entsprechenden Außenwinkelhalbierenden mit BC. Entsprechend seien die Punkte U_b und V_b (jeweils auf CA) sowie U_c und V_c (jeweils auf AB) definiert. Dann haben die drei Kreise mit den Durchmessern [U_a V_a], [U_b V_b] und [U_c V_c] zwei Punkte S und S' gemeinsam. S wird als 1. isodynamischer Punkt bezeichnet (Kimberling-Nummer ${\displaystyle X_{15}}$), S' als 2. isodynamischer Punkt (Kimberling-Nummer ${\displaystyle X_{16}}$).

Bei gleichseitigen Dreiecken fallen die isodynamischen Punkte zusammen (nämlich mit dem Schwerpunkt, dem Inkreismittelpunkt, dem Umkreismittelpunkt und dem Höhenschnittpunkt). Dreiecke, die nicht gleichseitig sind, haben zwei verschiedene isodynamische Punkte. Die isodynamischen Punkte wurden 1885 von Joseph Neuberg erstmals studiert und benannt.

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten der isodynamischen Punkte sind

${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,\sin \left(\beta \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,\sin \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{3}}\right).}$

Die baryzentrischen Koordinaten sind

${\displaystyle \left(a\cdot \sin \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\right):\left(b\cdot \sin \left(\beta \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\right):\left(c\cdot \sin \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\right).}$

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}$ die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Größen der Innenwinkel. Die Pluszeichen gelten für den 1. isodynamischen Punkt (${\displaystyle X_{15}}$), die Minuszeichen für den 2. isodynamischen Punkt (${\displaystyle X_{16}}$).

Eigenschaften

• Das gegebene Dreieck geht durch Punktspiegelung an einem der isodynamischen Punkte in ein gleichseitiges Dreieck über.
• Die beiden isodynamischen Punkte sind isogonal konjugiert zu den beiden Fermat-Punkten.
• Die Inversion (Kreisspiegelung) am Umkreis führt einen der beiden isodynamischen Punkte in den anderen über.
• Die Fußpunktdreiecke der beiden isodynamischen Punkte sind gleichseitig.
• Die isodynamischen Punkte liegen auf der Brocard-Achse.
• Bei den drei Kreisen handelt es sich um Kreise des Apollonios, deren Mittelpunkte auf der Lemoine-Gerade liegen.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 222, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

Commons: Isodynamic points – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein (MathWorld): Isodynamic Points (First isodynamic Point und Second isodynamic Point)

Einzelnachweise

1. ↑ Howard Eves: College Geometry. Jones and Bartlett Publishers, Boston 1995, S. 69–70 (englisch, google.de [abgerufen am 26. Januar 2025]). 
2. 1 2 3 4 5 Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(15), X(16). Abgerufen am 26. Januar 2025 (englisch). 
3. ↑ John Casey: A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections. Dublin University Press series, Hodges, Figgis, & Co., 1893, S. 303 (englisch, google.de [abgerufen am 26. Januar 2025]). 
4. ↑ Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95). Abgerufen am 26. Januar 2025 (englisch).