Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element $a$ einer Menge $X$ ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von $a$ gibt, in der (außer $a$ ) keine weiteren Elemente von $X$ liegen. Ein Punkt $a \in X$ ist also genau dann isoliert, wenn $a$ kein Häufungspunkt von $X$ ist.

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Definition

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $A \subset X$ . Ein Punkt $a \in A$ heißt isolierter Punkt von A, wenn es $ε > 0$ gibt mit $U_{ε} (a) \cap A = {a}$ .

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

In der Menge ${0} \cup [1, 2]$ ist $0$ ein isolierter Punkt.
In der Menge ${\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots} \cup {1}$ ist jedes der Elemente $\frac{n}{n + 1}$ ein isolierter Punkt, aber $1$ ist kein isolierter Punkt.
In der Menge der natürlichen Zahlen $ℕ = {0, 1, 2, \dots}$ sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

Einzelnachweise

↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.
↑ Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.

[1] Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.

[2] Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.