Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume $(X, ‖ \cdot ‖_{X})$ und $(Y, ‖ \cdot ‖_{Y})$ sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus $T : X \to Y$ existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also $‖ T x ‖_{Y} = ‖ x ‖_{X}$ erfüllt. Man schreibt dann $X ≅ Y$ .

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator $T$ übernimmt die Identifizierung von Elementen aus $X$ mit Elementen aus $Y .$ Die Isometrie von $T$ sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung $T^{- 1}$ wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

Jeder separable unendlich-dimensionale Hilbertraum ist isometrisch isomorph zum Raum $ℓ^{2}$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
Zwei Hilberträume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn ihre Hilbertraumdimensionen übereinstimmen.
Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem Untervektorraum des Raumes $(C (K), ‖ \cdot ‖_{\infty})$ der stetigen Funktionen auf einem geeignet gewählten kompakten topologischen Raum $K$ nach $ℝ$ mit der Supremumsnorm.
Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum des Raums $(C ([0, 1]), ‖ \cdot ‖_{\infty})$ der stetigen Funktionen vom Einheitsintervall $[0, 1]$ nach $ℝ$ mit der Supremumsnorm.

Literatur

Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7