Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen $ℓ^{2} (ℕ)$ . In diesem Fall ist $J : ℓ^{2} (ℕ) \to ℓ^{2} (ℕ), f \mapsto J f$ durch

(J f)_{n} = {\begin{matrix} a_{1} f_{2} + b_{1} f_{1}, & n = 1, \\ a_{n} f_{n + 1} + a_{n - 1} f_{n - 1} + b_{n} f_{n}, & n > 1, \end{matrix}

gegeben, wobei die Koeffizienten

a_{n} > 0, b_{n} \in ℝ

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung $P_{n} (z)$ der Differenzengleichung

J P_{n} (z) = z P_{n} (z), P_{1} (z) = 1,

ist ein Polynom vom Grad $n$ und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor $δ_{1, n}$ gehört.

Anwendungen

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall $a_{n} = 1$ ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.