Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall $[- 1, 1]$ bezüglich der Gewichtsfunktion $(1 - x)^{α} (1 + x)^{β}$ mit $α, β > - 1$ . Sie haben die explizite Form

P_{n}^{(α, β)} (x) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{x - 1}{2})}^{m},

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion $_{2} F_{1}$ :

P_{n}^{(α, β)} (x) = (\binom{n + α}{n})_{2} F_{1} (- n, 1 + n + α + β; α + 1; \frac{1 - x}{2}) .

Rodrigues-Formel

P_{n}^{(α, β)} (x) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} (1 - x)^{- α} (1 + x)^{- β} \frac{d^{n}}{d x^{n}} [(1 - x)^{α + n} (1 + x)^{β + n}], α, β > - 1

Rekursionsformeln

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

P_{0}^{(α, β)} (x) = 1

P_{1}^{(α, β)} (x) = \frac{1}{2} (α - β + (α + β + 2) x)

a_{n}^{1} P_{n + 1}^{(α, β)} (x) = (a_{n}^{2} + a_{n}^{3} x) P_{n}^{(α, β)} (x) - a_{n}^{4} P_{n - 1}^{(α, β)} (x)

mit den Konstanten:

a_{n}^{1} = 2 (n + 1) (n + α + β + 1) (2 n + α + β)

a_{n}^{2} = (2 n + α + β + 1) (α^{2} - β^{2})

a_{n}^{3} = (2 n + α + β) (2 n + α + β + 1) (2 n + α + β + 2)

a_{n}^{4} = 2 (n + α) (n + β) (2 n + α + β + 2)

Eigenschaften

Der Wert für $x = 1$ ist

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n}) = \frac{Γ (n + α + 1)}{Γ (α + 1) n!}

.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

P_{n}^{(α, β)} (- x) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (x),

woraus sich der Wert für $x = - 1$ ergibt:

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n}) .

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

\int_{- 1}^{1} (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m} .

Ableitungen

Aus der expliziten Form können die $k$ -ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

\frac{d^{k}}{d x^{k}} P_{n}^{(α, β)} (x) = \frac{Γ (α + β + n + 1 + k)}{2^{k} Γ (α + β + n + 1)} P_{n - k}^{(α + k, β + k)} (x) .

Nullstellen

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

(\begin{matrix} a_{0} & b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ b_{1} & a_{1} & b_{2} & ⋱ & ⋮ \\ 0 & b_{2} & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & b_{n - 1} \\ 0 & \dots & 0 & b_{n - 1} & a_{n - 1} \end{matrix})

mit

a_{0} = \frac{β - α}{2 + α + β}

a_{j} = \frac{β^{2} - α^{2}}{(2 j + α + β) (2 j + 2 + α + β)}, j = 1, \dots, n - 1

b_{1} = \sqrt{\frac{4 (1 + α) (1 + β)}{(2 + α + β)^{2} (3 + α + β)}}

b_{j} = \sqrt{\frac{4 j (j + α) (j + β) (j + α + β)}{(2 j - 1 + α + β) (2 j + α + β)^{2} (2 j + 1 + α + β)}}, j = 2, \dots, n - 1

stimmen mit den Nullstellen von $P_{n}^{(α, β)}$ überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall $(- 1, 1)$ liegen.

Asymptotische Darstellung

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

P_{n}^{(α, β)} (\cos θ) = \frac{\cos ([n + (α + β + 1) / 2] θ - [2 α + 1] π / 4)}{\sqrt{π n} {[\sin (θ / 2)]}^{α + 1 / 2} {[\cos (θ / 2)]}^{β + 1 / 2}} + 𝒪 (n^{- 3 / 2}), 0 < θ < π .

Erzeugende Funktion

Für alle $x \in ℝ, z \in ℂ, | z | < 1$ gilt

\sum_{n = 0}^{\infty} P_{n}^{(α, β)} (x) z^{n} = 2^{α + β} [f (x, z)]^{- 1} [1 - z + f (x, z)]^{- α} [1 + z + f (x, z)]^{- β}, f (x, z) = \sqrt{1 - 2 x z + z^{2}} .

Die Funktion

z \mapsto 2^{α + β} [f (x, z)]^{- 1} [1 - z + f (x, z)]^{- α} [1 + z + f (x, z)]^{- β}

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

für $α = β = 0$ : Legendre-Polynome
Gegenbauer-Polynome
Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
der Radialterm der Zernike-Polynome

Kugelsymmetrische Gewichtung auf dem Intervall [0,1]

Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius $r$ abhängen. Dabei treten häufig Integrale mit Gewicht $r^{β}$ auf, etwa bei elektrischen Feldern, Dichteprofilen oder Temperaturverteilungen in Kugelkoordinaten. Durch die Transformation $x = 2 r - 1$ lassen sich die Jacobi-Polynome $P_{n}^{(0, β)} (x)$ auf das Intervall $[0, 1]$ mit Gewicht $r^{β}$ übertragen.

Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:

$F_{n}^{(β)} (r) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n + k} \frac{\sqrt{1 + β + 2 n} \cdot Γ (n + k + β + 1)}{Γ (k + 1) Γ (n - k + 1) Γ (k + β + 1)} r^{k}, r \in [0, 1]$

Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:

$\int_{0}^{1} F_{n}^{(β)} (r) F_{m}^{(β)} (r) r^{β} d r = δ_{n m} .$

Die Funktionen $F_{n}^{(β)} (r)$ bilden eine normierte, monomiale Basis und sind insbesondere nützlich für radial gewichtete Funktionen auf Kugelintervallen. Sie entsprechen (bis auf Normierung) den Jacobi-Polynomen $P_{n}^{(0, β)} (2 r - 1)$ .

Literatur

Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Edition am Gutenbergplatz Leipzig, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.

Einzelnachweise

↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln
↑ Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2 und 2.4).

[1] Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln

[2] Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2 und 2.4).