Jacobis Formel

Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen $t$ abhängenden Matrix $A (t)$ durch die Adjunkte von $A$ und der Ableitung von $A$ nach $t$ aus.

Wenn die Matrix $A (t) \in ℝ^{n \times n}$ eine differenzierbare Funktion eines Parameters $t \in ℝ$ ist, dann besagt der Satz:

\partial_{t} det (A) = spur (adj (A) \partial_{t} A)

Darin bezeichnet $\partial_{t}$ die Ableitung nach $t$ . Mit dem Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen, $⟨ A, B ⟩ := spur (A^{T} B)$ , kann das mit der Kofaktormatrix $cof (A) = adj (A)^{T}$ als

\partial_{t} \det (A) = ⟨ cof (A), \partial_{t} A ⟩

notiert werden. Wenn $A$ invertierbar ist, schreibt sich das

\partial_{t} \det (A) = \det (A) ⟨ (A^{- 1})^{T}, \partial_{t} A ⟩

Herleitung

Das charakteristische Polynom einer $n \times n$ -Matrix $M$ lautet

\det (λ E - M) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} λ^{k}

wobei $E$ die Einheitsmatrix, $c_{n} = 1$ und $c_{n - 1} = - spur (M)$ ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei $\det (A) \neq 0$ , sodass $A$ invertierbar ist, und $λ = η^{- 1}$ :

\begin{matrix} \det (A + η H) & = \det (η A (η^{- 1} E + A^{- 1} H)) = η^{n} \det (A) \det (η^{- 1} E + A^{- 1} H) \\ = η^{n} \det (A) (η^{- n} + η^{1 - n} spur (A^{- 1} H) + 𝒪 (η^{2 - n})) \\ = \det (A) (1 + η spur (A^{- 1} H) + 𝒪 (η^{2})) . \end{matrix}

worin das Landau-Symbol $𝒪 (η^{2})$ Terme zusammenfasst, die $η$ in mindestens zweiter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

D_{H} \det (A) := lim_{η \to 0} \frac{\det (A + η H) - \det (A)}{η} = \det (A) spur (A^{- 1} H)

und nach der Kettenregel die Ableitung

\partial_{t} \det (A) = \det (A) spur (A^{- 1} \partial_{t} A) = spur (adj (A) \partial_{t} A) = ⟨ cof (A), \partial_{t} A ⟩

Die Teilmenge der invertierbaren Matrizen aus $ℝ^{n \times n}$ ist eine dichte Teilmenge des Matrizenraums $ℝ^{n \times n}$ , weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Eulersche Formel

Die Determinante des Deformationsgradienten $𝐅$ gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand $d V$ und in seinem aktuellen deformierten Zustand $d v$ :

\det (𝐅) = \frac{d v}{d V} > 0

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

\begin{matrix} \partial_{t} \det (𝐅) & = ⟨ cof (𝐅), \partial_{t} 𝐅 ⟩ \\ = \det (𝐅) ⟨ {(𝐅^{- 1})}^{T}, \partial_{t} 𝐅 ⟩ \\ = \det (𝐅) spur (𝐅^{- 1} \partial_{t} 𝐅) \\ = \det (𝐅) spur ((\partial_{t} 𝐅) 𝐅^{- 1}) \\ = \det (𝐅) spur (𝐥) \\ = \det (𝐅) div (\vec{v}) \end{matrix}

Wobei $𝐥 = (\partial_{t} 𝐅) 𝐅^{- 1}$ den Geschwindigkeitsgradient bezeichnet, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit $div (\vec{v})$ ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist. Dieses Ergebnis ist als eulersche Formel bekannt.

Literatur

↑ Jan R. Magnus, Heinz Neudecker: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, 1999, ISBN 0-471-98633-X, S. 169 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ J. H. Spurk: Strömungslehre. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8., überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, S. 33, doi:10.1007/978-3-642-13143-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Neudecker-1] Jan R. Magnus, Heinz Neudecker: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, 1999, ISBN 0-471-98633-X, S. 169 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Spurk-2] J. H. Spurk: Strömungslehre. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8., überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, S. 33, doi:10.1007/978-3-642-13143-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).