Killing-Form

Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

${\displaystyle B(X,Y):=\operatorname {Tr} (\operatorname {ad} (X)\circ \operatorname {ad} (Y))}$

für ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ definierte symmetrische Bilinearform

${\displaystyle B:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow k}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$ die Spur bezeichnet.

Eigenschaften

• ${\displaystyle B}$ ist eine symmetrische Bilinearform.
• ${\displaystyle B}$ ist assoziativ, das heißt, es gilt ${\displaystyle B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])}$ für alle ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}}$.
• Für alle ${\displaystyle Z\in {\mathfrak {g}}}$ ist ${\displaystyle \operatorname {ad} (Z)}$ schiefsymmetrisch bzgl. ${\displaystyle B}$, das heißt für alle ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ gilt

${\displaystyle B(\operatorname {ad} (Z)X,Y)=-B(X,\operatorname {ad} (Z)Y)}$.

• Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ halb-einfach ist.
• Falls ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist, dann ist ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$-invariant, d. h. für alle ${\displaystyle g\in G,X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ gilt

${\displaystyle B(\operatorname {Ad} (g)X,\operatorname {Ad} (g)Y)=B(X,Y)}$.

• Falls ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn ${\displaystyle G}$ kompakt ist. Insbesondere definiert ${\displaystyle -B}$ eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$. Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.

Beispiele

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

g	${\displaystyle B(X,Y)}$
gl(n, R)	${\displaystyle 2n\operatorname {Tr} (XY)-2\operatorname {Tr} (X)\operatorname {Tr} (Y)}$
sl(n, R)	${\displaystyle 2n\operatorname {Tr} (XY)}$
su(n)	${\displaystyle 2n\operatorname {Tr} (XY)}$
so(n, R)	${\displaystyle (n-2)\operatorname {Tr} (XY)}$
so(n)	${\displaystyle (n-2)\operatorname {Tr} (XY)}$
sp(n, R)	${\displaystyle (2n+2)\operatorname {Tr} (XY)}$
sp(n, C)	${\displaystyle (2n+2)\operatorname {Tr} (XY)}$

Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

${\displaystyle M=G/K}$

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und einer maximal kompakten Untergruppe ${\displaystyle K}$.

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$

und man kann den Tangentialraum ${\displaystyle T_{\left[e\right]}G/K}$ im neutralen Element mit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ und positiv definit auf ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Insbesondere definiert sie ein ${\displaystyle \operatorname {Ad} (G)}$-invariantes Skalarprodukt auf ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf ${\displaystyle M=G/K}$. Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige ${\displaystyle G}$-invariante Metrik auf ${\displaystyle M}$.

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik ${\displaystyle 0}$.

Literatur

• Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.