Als Klassenlogik werden logische Systeme bezeichnet, in denen neben Junktoren und Quantoren auch die Klassenbildung Teil der logischen Sprache ist. Die Klassenlogik ist eine Erweiterung der Prädikatenlogik. In der Prädikatenlogik liegen alle Objekte in einem Grundbereich, der auch Individuenbereich, Variablenbereich oder Diskursuniversum genannt wird. In der Klassenlogik ist der Grundbereich ein echter Teil des Objektbereichs. Klassen liegen im allgemeinen nicht im Grundbereich.
Logische Systeme sind die Grundlage der modernen Mathematik. Sie beschreiben die Sprache, in der Mathematik dargestellt wird, sie legen die Regeln für das Beweisen fest. In vielen Fällen wird die Prädikatenlogik zugrunde gelegt, aber insbesonder mit der Entwicklung der Mengenlehre hat sich die tatsächlich verwendete Sprache der Mathematik weit von der Prädikatenlogik entfernt.
„Eine klassenlogische Sprache entspricht der tatsächlich verwendeten mathematischen Sprache weit besser als eine prädikatenlogische Sprache.“
Mengen sind spezielle Klassen, die im Grundbereich liegen. In einer geeigneten Klassenlogik kann die gesamte Klassenalgebra und die elementare Theorie der Relationen und Funktionen entwickelt werden, ohne dass weitere Axiome für Mengen erforderlich sind.
Die Klassenlogik enthält wie die Prädikatenlogik die folgenden logischen Symbole
sowie den
Weiterhin gibt es
Im Vergleich zur Prädikatenlogik ist nur der Klassenbildungsoperater hinzugekommen, der wie die Quantoren Variable bindet. Mit Hilfe dieser Symbole werden rekursiv die Ausdrücke der Sprache, nämlich die Terme und die Formeln gebildet:
Weitere syntaktische Begriffe der Sprache, wie beispielsweise freie und gebundene Variable, Teilausdrücke, Ersetzung, Substitution werden wie in der Prädikatenlogik gebildet. Anmerkung: zur besseren Lesbarkeit verwenden wir in Formeln und anstelle von und , wenn diese die Hauptverknüpfung sind.
Auch die Semantik wird in Analogie zur Prädikatenlogik übernommen. Der wichtigste Punkt ist die Interpretation der Terme. Während in der Prädikatenlogik alle Terme durch Objekte aus dem Grundbereich interpretiert werden, ist das in der Klassenlogik nur bei den Variablen der Fall:
Die Quantoren „für alle ...“ und „es gibt ...“ beziehen auf den Grundbereich. Das gilt auch für den Klassenbildungsoperator „Klasse der ...“.
Beispiele für Klassen sind:
Die leere Klasse hat keine Eleente, weil immer falsch ist.
Da immer wahr ist, sind alle Objekte des Grundbereichs Elemente von .
Diese Klasse enthält alle Objekte des Grundbereichs, die sich nicht selbst enthalten. Die Russellsche Antinomie zeigt, dass nicht im Grundbereich liegt: ist eine echte Klasse.
Die Klassenlogik ersetzt keine axiomatische Mengenlehre. Dazu betrachten wir ein ganz einfaches Modell der Klassenildung und der Elementrelation . Der Grundbereich hat nur ein einziges Element . Es gibt ein weiteres Objekt , dass außerhalb von liegt. Weitere Objekte gibt es nicht. Der einelementige Bereich hat genau zwei Teilklassen: die leere Klasse und die Klasse . Für die Elementrelation sind zwei Fälle möglich:
Im Fall 1 ist die Leere Klasse eine Menge, im Fall 2 die Allklasse. Es ist also in der Klassenlogik von keiner Klasse beweisbar, dass sie eine Menge ist!
Die Axiome und Regeln für Junktoren und Quantoren der Prädikatenlogik gelten auch in der Klassenlogik. Nachfolgend werden nur die zusätzlichen Axiome für die Klassenbildung aufgeführt.
In der Klassenlogik gilt das Abstraktionsprinzip, auch Komprehensionsschema genannt:
Zu jeder Formel der Klassenlogik gibt es eine Klasse, die genau die Elemente enthält, auf die die Formel zutrifft. Die Klasse, die von der Eigenschaft abstrahiert wird, wird mit Hilfe des Klassenbildungsoperators wie folgt notiert: . Dabei stehen die Variablen für Elemente des Grundbereichs.
Das Extensionalitätsprinzip, auch Extensionalitätsaxiom genannt, besagt, dass zwei Klassem und genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben:
Die umgekehrte Richtung gilt aufgrund der Identitätsregeln. In dieser Form gilt die Extensionalität für alle Objekte, das heißt, alle Objekte sind Klassen. Wenn das nicht gewünscht ist, muss das Prinzip auf Klassen eingeschränkt werden:
Der Klassenbildungsoperator liefert natürlich Klassen.
Beweis: nach dem Abstraktionsprinzip gilt , daraus folgt mit dem Extensionalitätsprinzip .
Die Elementregel besagt, dass Elemente aus dem Grundbereich kommen.
Ein Term kann eine beliebige Klasse bezeichnen, eine Variable dagegen steht immer für ein Element aus dem Grundbereich. Deshalb ist in einem Ausdruck die Substitution der Variablen durch einen Term nur mit der Prämisse korrekt, formal:
Der Kalkül ist korrekt und vollständig. Daher gelten auch der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim-Skolem.
Alle Formeln der Prädikatenlogik mit Gleichheit und Elementrelation sind auch Formeln der Klassenlogik mit Extensionalitätsprinzip und ohne geordnete Paare und Konstanten. In den Formeln der Klassenlogik kann zusätzlich der Klassenbildungsoperator verwendet werden. Es gilt der folgende Satz:
Elimination der Klassenterme in Formeln
Beweis: In der Klassenlogik gelten die folgenden Äquivalenzen:
Beispiel:
Wenn die Abkürzungen , und eliminiert werden, erhält man:
Anwendung von (a) liefert:
Mit (b) ergibt sich:
Mit (c) werden die verbliebenen Klassenbildungsoperatoren ersetzt:
Das letzte Konjunktionsglied ist immer wahr und kann daher entfallen:
Der obige Satz zeigt, dass die Klassenlogik eine konservative Erweiterung der Prädikatenlogik ist: durch die Verwendung der Klassenterme werden in der Klassenlogik keine weiteren prädikatenlogische Formeln beweisbar.
Um Relationen und Funktionen auf Klassen zurückzuführen, werden Geordnete Paare benötigt. Es gibt zwei Möglichkeiten, diese in einer Klassenlogik umzusetzen. Zum einen können sie mengentheoretisch definiert werden, beispielsweise so:
Dazu ist das Paarmengenaxiom erforderlich. Die andere Möglichkeit ist es, geordnete Paare als logischen Grundbegriff hinzuzufügen. Dazu wird die Definition der Terme erweitert:
Zum Kalkül werden die folgenden Regeln zugefügt:
Geordnete Paare sind dann und nur dann gleich, wenn ihre jeweiligen Komponenten gleich sind. Geordnete Paare mit Komponennten aus dem Grundbereich liegen ebenfalls im Grundbereich.
