Von-Neumann-Algebra

Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann On rings of operators. Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonné zurück.

Definition

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra $L (H)$ der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums $H$ , die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

$A = A^{″}$ .
$A$ ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie.
$A$ ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie.

Hierbei ist $A^{'} := {x \in L (H) | \forall a \in A : x a = a x}$ die Kommutante von $A$ und entsprechend $A^{″}$ die Kommutante von $A^{'}$ .

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

Ist $A \subset L (H)$ eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist $A^{″}$ der Abschluss von $A$ sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ ist eine C*-Algebra, die der topologische Dualraum eines Banachraums $A_{⋆}$ ist.

Faktoren

Die Von-Neumann-Algebra $A$ heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

$A \cap A^{'} = ℂ \cdot 1_{H}$ .
$A \cup A^{'}$ erzeugt $L (H)$ .

Da $A \cap A^{'}$ die Menge der Operatoren aus $A$ ist, die mit allen Operatoren aus $A$ kommutieren, ist $A \cap A^{'}$ das Zentrum von $A$ . Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

$L (H)$ und $ℂ \cdot 1_{H}$ sind Beispiele für Faktoren. Mit $A$ ist auch $A^{'}$ ein Faktor; offenbar gilt $L {(H)}^{'} = ℂ \cdot 1_{H}$ und $(ℂ \cdot 1_{H})^{'} = L (H)$ .

Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

Kommutative Von-Neumann-Algebren

Sei $(X, 𝔛, μ)$ ein $σ$ -endlicher Maßraum. Dann ist $H =$ L² $(X, 𝔛, μ)$ ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion $f \in L^{\infty} (X, 𝔛, μ)$ definiert via Multiplikation einen Operator $M_{f} \in L (H), M_{f} (g) := f \cdot g$ . Die Menge aller $M_{f}$ ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra $ℳ \subset L (H)$ , und die Abbildung $f \mapsto M_{f}$ ist ein *-Isomorphismus $L^{\infty} (X, 𝔛, μ) \to ℳ$ . Man kann $ℳ' = ℳ$ zeigen, das heißt, die Algebra $ℳ$ stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, $ℳ$ ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum $([0, 1], ℬ, λ)$ (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von ${M_{f}; f \in C ([0, 1])}$ mit $ℳ ≅ L^{\infty} ([0, 1])$ zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt $C ([0, 1])$ zum maßtheoretischen Konstrukt $L^{\infty} ([0, 1])$ entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Eigenschaften

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

Siehe auch

Literatur

Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1
Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras. Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).
Jacob T. Schwartz: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.

Einzelnachweise

↑ F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.
↑ F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248
↑ F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.
↑ Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36

[1] F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.

[2] F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248

[3] F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.

[4] Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36