Komplexe Differentialform

Eine komplexe Differentialform ist ein mathematisches Objekt aus der komplexen Geometrie. Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der (reellen) Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten. Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine graduierte Algebra. Eine komplexe Differentialform vom Grad $k$ (oder kurz k-Form) kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden, die dann den Grad $p$ beziehungsweise $q$ mit $p + q = k$ haben. Um diese Zerlegung zu betonen, spricht man auch von (p,q)-Formen. Diese Zerlegung führt zu den Dolbeault-Operatoren $\partial$ und $\bar{\partial}$ und bildet die Grundlage der Dolbeault-Kohomologie. Eine wichtige Rolle spielt der Kalkül der komplexen Differentialformen auch in der Hodge-Theorie.

Definition

Sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension $n$ . Eine komplexe Differentialform vom Grad $r$ auf $M$ ist eine glatte Differentialform mit komplexen Koeffizienten, also ein glatter Schnitt des komplexifizierten Bündels $Λ^{r} (T^{*} M) \otimes_{ℝ} ℂ$ . Dabei bezeichnet $Λ^{r} (T^{*} M)$ die $r$ -te äußeren Potenz des Kotangentialbündels $T^{*} M$ . Der Raum der komplexen Differentialformen vom Grad $r$ wird mit $ℰ^{r} (M)$ notiert.

Lokale Darstellung komplexer Differentialformen

Sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension $n$ . Wähle

{d z^{j} = d x^{j} + i d y^{j}, d {\bar{z}}^{j} = d x^{j} - i d y^{j}; 1 \leq j \leq n}

als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums. Jede komplexe Differentialform vom Grad 1 lässt sich lokal in der Form

\sum_{j = 1}^{n} f_{j} d z^{j} + g_{j} d {\overline{z}}^{j}

darstellen, wobei $f_{j}$ glatte komplexwertige Funktionen sind. Die Räume, in denen nur Basisvektoren des komplexifizierten Kotangentialraums der Form $d z^{j}$ vorkommen, werden als (1,0)-Formen und die Menge der (1,0)-Formen wird mit $𝒜^{1, 0} (M)$ bezeichnet. Analog dazu ist $𝒜^{0, 1} (M)$ der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form $d {\overline{z}}^{j}$ haben. Aufgrund der Holomorphie der Koordinatenwechsel bleiben diese Räume unter Koordinatentransformationen erhalten. Aus diesem Grund sind die Räume $𝒜^{1, 0} (M)$ und $𝒜^{0, 1} (M)$ komplexe Vektorbündel über $M$ .

Zerlegung in (p,q)-Formen

Sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension $n$ . Mit Hilfe des äußeren Produktes von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der $(p, q)$ -Formen durch

𝒜^{p, q} (M) := ⋀_{j = 1}^{p} 𝒜^{1, 0} (M) \land ⋀_{j = 1}^{q} 𝒜^{0, 1} (M)

definieren. Weiter definiert man noch den Raum $ℰ^{r} (M)$ als die direkte Summe

ℰ^{r} (M) := ⨁_{p + q = r} 𝒜^{p, q} (M)

der $(p, q)$ -Formen mit $r = p + q$ . Diese Zerlegung ist eine grundlegende Eigenschaft in der komplexen Geometrie und bildet die Grundlage der Dolbeault-Operatoren.

Der Raum $ℰ^{r} (M)$ ist isomorph zur direkten Summe $ℰ^{r} (M) ≅ 𝒜^{r} (M) \oplus i 𝒜^{r} (M)$ der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für $p + q = r$ eine Projektion

π_{p, q} : ℰ^{r} (M) \to 𝒜^{p, q} (M)

definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad $r$ ihre $(p, q)$ -Zerlegung zuordnet.

Eine $(p, q)$ -Form hat also in lokalen Koordinaten $z_{1}, \dots, z_{n}$ die eindeutige Darstellung

ω = \sum_{\overset{1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n}{1 \leq j_{1} < \dots < j_{q} \leq n}} f_{i_{1}, \dots i_{p}, j_{1}, \dots j_{q}} d z_{i_{1}} \land \dots \land d z_{i_{p}} \land d {\overline{z}}_{j_{1}} \land \dots \land d {\overline{z}}_{j_{q}}

.

Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise

\sum_{I, J} f_{I, J} d z_{I} \land d {\overline{z}}_{J} := \sum_{\begin{matrix} 1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n \\ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{q} \leq n \end{matrix}} f_{i_{1}, \dots i_{p}, j_{1}, \dots j_{q}} d z_{i_{1}} \land \dots \land d z_{i_{p}} \land d {\overline{z}}_{j_{1}} \land \dots \land d {\overline{z}}_{j_{q}}

zu vereinbaren.

Dolbeault-Operatoren

Definition

Die äußere Ableitung

d : ℰ^{r} (M) \to ℰ^{r + 1} (M),

was gleichbedeutend ist mit

d : ⨁_{p + q = r} 𝒜^{p, q} (M) \to ⨁_{p + q = r} 𝒜^{p + 1, q} (M) \oplus ⨁_{p + q = r} 𝒜^{p, q + 1} (M),

kann in $d = \partial + \overline{\partial}$ aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren

\partial : 𝒜^{p, q} (M) \to 𝒜^{p + 1, q} (M)

und

\overline{\partial} : 𝒜^{p, q} (M) \to 𝒜^{p, q + 1} (M)

sind definiert durch

\begin{matrix} \partial & := π_{p + 1, q} \circ d \\ \overline{\partial} & := π_{p, q + 1} \circ d . \end{matrix}

In lokalen Koordinaten bedeutet dies

\partial (\sum_{I, J} f_{I, J} d z^{I} \land d {\overline{z}}^{J}) = \sum_{I, J} \sum_{l = 1}^{n} \frac{\partial f_{I, J}}{\partial z^{l}} d z^{l} \land d z^{I} \land d {\overline{z}}^{J}

und

\overline{\partial} (\sum_{I, J} f_{I, J} d z^{I} \land d {\overline{z}}^{J}) = \sum_{I, J} \sum_{l = 1}^{n} \frac{\partial f_{I, J}}{\partial {\overline{z}}^{l}} d {\overline{z}}^{l} \land d z^{I} \land d {\overline{z}}^{J} .

Dabei sind $\partial$ und $\overline{\partial}$ auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault-Operatoren.

Eigenschaften

Für diese Operatoren gilt eine Leibniz-Regel. Seien $ω \in 𝒜^{p, q}$ und $ν \in 𝒜^{r, s}$ , dann gilt

\partial (ω \land ν) = \partial ω \land ν + (- 1)^{p + q} ω \land \partial ν

und

\overline{\partial} (ω \land ν) = \overline{\partial} ω \land ν + (- 1)^{p + q} ω \land \overline{\partial} ν .

Aus der Identität

0 = d^{2} = (\partial + \overline{\partial})^{2} = \partial^{2} + (\overline{\partial} \partial + \partial \overline{\partial}) + {\overline{\partial}}^{2}

folgt

\partial^{2} = 0

,

\partial \overline{\partial} + \overline{\partial} \partial = 0

und

{\overline{\partial}}^{2} = 0

, denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren

\partial

und

\overline{\partial}

eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen Dolbeault-Kohomologie.

Sei $(M, g)$ eine Kählermannigfaltigkeit, also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Riemann’schen Metrik $g$ , so kann man den adjungierten Dolbeault-Quer-Operator ${\overline{\partial}}^{*}$ bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator $Δ := \overline{\partial} {\overline{\partial}}^{*} + {\overline{\partial}}^{*} \overline{\partial}$ ist dann ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) Hodge-Theorie.

Holomorphe Differentialformen

Erfüllt eine Differentialform $ω \in 𝒜^{p, 0} (M)$ die Gleichung $\overline{\partial} ω = 0$ , so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch

\sum_{I} f_{I} d z^{I}

darstellen, wobei $f_{I}$ holomorphe Funktionen sind. Der Vektorraum der holomorphen $p$ -Formen auf $M$ wird mit $Ω^{p} (M)$ notiert.

Literatur

Eric W. Weisstein: Complex Form. In: MathWorld (englisch).
Raymond O. Wells: Differential analysis on complex manifolds. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1973, ISBN 0-13-211508-5.
Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (= North-Holland Mathematical Library 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.

Einzelnachweise

↑ John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 103 (google.de).
↑ John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 104 (google.de).
↑ John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 105 f. (google.de).
↑ John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 106 (google.de).
↑ John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 106 f. (google.de).

[1] John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 103 (google.de).

[2] John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 104 (google.de).

[3] John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 105 f. (google.de).

[4] John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 106 (google.de).

[5] John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 106 f. (google.de).