Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ein Magma (zum Beispiel eine Gruppe) und sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Teilmengen von ${\displaystyle M}$, dann ist das Komplexprodukt von ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle Y}$ definiert als

${\displaystyle X\cdot Y:=\{x\cdot y\mid x\in X,y\in Y\}}$.

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

${\displaystyle {\begin{aligned}XY&:=X\cdot Y\\xY&:=\{x\}\cdot Y\\Xy&:=X\cdot \{y\}\end{aligned}}}$

üblich, wobei ${\displaystyle x,y}$ Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von ${\displaystyle M}$ eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge ${\displaystyle P(M)}$ selbst zum Magma.

Eigenschaften

• Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man Halbgruppen), so ist auch ${\displaystyle P(M)}$ mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
• Ist das Magma M kommutativ, so ist auch ${\displaystyle P(M)}$ mit dem Komplexprodukt kommutativ.
• Ist das Magma M ein Monoid, so ist auch ${\displaystyle P(M)}$ mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das neutrale Element ist ${\displaystyle \{e\}}$, wobei ${\displaystyle e\in M}$ das neutrale Element von ${\displaystyle M}$ ist.
• Ist das Magma M eine Gruppe, so ist ${\displaystyle P(M)}$ mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die leere Menge in ${\displaystyle P(M)}$ absorbierend ist.
• Das Komplexprodukt ${\displaystyle UV}$ zweier Untergruppen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von ${\displaystyle V}$ und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle UV=\bigcup _{u\in U}uV=\bigcup _{v\in V}Uv}$

• Sind ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung

${\displaystyle |UV|={\frac {|U|\cdot |V|}{|U\cap V|}}}$

• Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$, dass ${\displaystyle UV}$ genau dann eine Untergruppe ist, wenn ${\displaystyle UV=VU}$ gilt. Ist ${\displaystyle U}$ oder ${\displaystyle V}$ ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
• Das Komplexprodukt von Nebenklassen ${\displaystyle gN}$ und ${\displaystyle hN}$ eines Normalteilers ${\displaystyle N}$ ist ${\displaystyle gN\cdot hN=(gh)N}$. Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle N}$.
• Ist ${\displaystyle N}$ Normalteiler und ${\displaystyle U}$ Untergruppe von ${\displaystyle G}$, die die Eigenschaften ${\displaystyle N\cap U=\{e\}}$ und ${\displaystyle N\cdot U=G}$ haben, dann ist ${\displaystyle G}$ das innere semidirekte Produkt von ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle U}$. Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9