Kopunktalität

Kopunktale Geraden

Die beiden folgenden Kriterien liefern notwendige Bedingungen für kopunktale Geraden in der Ebene.

Sind drei Geraden der Ebene mit den Gleichungen

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\quad {\text{und}}\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}$

kopunktal, so gilt

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0}$.

(Der Rechenausdruck auf der linken Seite ist eine Determinante.)

Sind drei Geraden der Ebene mit den Gleichungen

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}}$

kopunktal, so gilt

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&u_{1}\\a_{2}&u_{2}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}v_{1}&w_{1}\\v_{2}&w_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{1}&v_{1}\\b_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}w_{1}&u_{1}\\w_{2}&u_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}c_{1}&w_{1}\\c_{2}&w_{2}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}=0}$.

Kopunktale Ebenen

Sind vier Ebenen im Raum mit den Gleichungen

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\quad \ldots ,\quad A_{4}x+B_{4}y+C_{4}z+D_{4}=0}$

kopunktal, so gilt

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}&D_{3}\\A_{4}&B_{4}&C_{4}&D_{4}\end{vmatrix}}=0}$.