Erste Schritte als Schauspieler machte er ab 2008 in einer Reihe von Theaterstücken. 2018 und 2019 spielte er die Rolle des Eric Glass im Theaterstück The Inheritance von Matthew Lopez. Für seine dortigen Leistungen wurde er 2019 mit dem Laurence Olivier Award als bester Hauptdarsteller ausgezeichnet. Als Synchronsprecher kommt er überwiegend bei Videospielen zum Einsatz. Er sprach allerdings auch von 2019 bis 2020 in der Zeichentrickserie Das Haus der 101 Dalmatiner.
Sein Filmdebüt gab Soller 2012 im Film Anna Karenina in einer Nebenrolle. 2014 übernahm er die Rolle des Soldaten Karl Inkelaar im Film Monsters: Dark Continent. Im selben Jahr stellte er eine weitere militärische Rolle in Herz aus Stahl an der Seite von Brad Pitt dar. Eine größere Serienrolle erhielt er 2015 in You, Me and the Apocalypse als Scotty McNeil. Ab demselben Jahr bis 2018 stellte er den Charakter Francis Poldark in der gleichnamigen Fernsehserie Poldark dar. 2017 mimte er die Rolle des Tom Porter im spanischen Spielfilm Das Geheimnis von Marrowbone. Ab 2022 wirkte er in der Star-Wars-Fernsehserie Andor als Gegenspieler der titelgebenden Hauptfigur, Syril Karn, mit.