Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte $ℒ$ (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion $L$ in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

L = \int d^{3} r ℒ = ∭ d x d y d z ℒ (ϕ, \frac{\partial ϕ}{\partial t}, \frac{\partial ϕ}{\partial x}, \frac{\partial ϕ}{\partial y}, \frac{\partial ϕ}{\partial z}, t)

mit dem betrachteten Feld $ϕ (x, y, z, t)$ .

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

\frac{\partial ℒ}{\partial ϕ_{i}} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial ℒ}{\partial \frac{\partial ϕ_{i}}{\partial t}} - \sum_{j = 1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \frac{\partial ℒ}{\partial \frac{\partial ϕ_{i}}{\partial x_{j}}} = \frac{\partial ℒ}{\partial ϕ_{i}} - \partial_{μ} \frac{\partial ℒ}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{i})} = 0

.

Beispiel

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

ℒ = \frac{1}{2} [μ {(\frac{\partial ϕ}{\partial t})}^{2} - E {(\frac{\partial ϕ}{\partial x})}^{2}]

In diesem Beispiel bedeuten:

ϕ = ϕ (x, t)

die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

μ

die lineare Massendichte

E

den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

\frac{\partial ℒ}{\partial ϕ} = 0

\frac{\partial ℒ}{\partial \frac{\partial ϕ}{\partial t}} = μ \frac{\partial ϕ}{\partial t}

\frac{\partial ℒ}{\partial \frac{\partial ϕ}{\partial x}} = - E \frac{\partial ϕ}{\partial x}

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

E \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} - μ \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial t^{2}} = 0

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

S = \int d^{4} x \sqrt{- g} ℒ

definiert, wobei $g$ die Determinante des metrischen Tensors ist. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

ℒ^{'} (x_{μ}) = ℒ (x'_{μ}) = ℒ (x_{μ})

mit

x'_{μ} = Λ_{μ ν} x^{ν}

, wobei

Λ_{μ ν}

der Lorentz-Transformationstensor ist.

Literatur

Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.

Einzelnachweise

↑ Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation. In: American Journal of Physics. Band 77, 2009, S. 839, doi:10.1119/1.3153503.

[1] Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation. In: American Journal of Physics. Band 77, 2009, S. 839, doi:10.1119/1.3153503.