Langlands-Dual

In der Mathematik ist das Langlands-Dual einer Gruppe in Zusammenhang mit dem Langlands-Programm, einer Reihe von weitreichenden Vermutungen, die die Zahlentheorie und die Darstellungstheorie von Gruppen miteinander verknüpfen, von Bedeutung.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine spaltbare reduktive Gruppe über einem globalen Körper ${\displaystyle F}$. Das Langlands-Dual ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ist die spaltbare reduktive Gruppe, deren Gewichte und Wurzeln die Kogewichte und Kowurzeln von ${\displaystyle G}$ sind.

Langlands-Dual halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen

Sei ${\displaystyle G}$ eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Sei ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ das Langlands-Dual mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$.

Dann ist das Dynkin-Diagramm von ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ dual zum Dynkin-Diagramm von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. (Das Dynkin-Diagramm von ${\displaystyle B_{n}}$ ist dual zum Dynkin-Diagramm von ${\displaystyle C_{n}}$ und umgekehrt. Alle anderen Dynkin-Diagramme sind zu sich selbst dual.)

Für halbeinfache Lie-Gruppen ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ ist die Lie-Algebra von ${\displaystyle {\widehat {G_{1}\times G_{2}}}}$ isomorph zu ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{1}\oplus {\hat {\mathfrak {g}}}_{2}}$.

Weiterhin ist das Zentrum von ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von ${\displaystyle G}$ und umgekehrt.

Beispiele

• Das Langlands-Dual von ${\displaystyle SL_{n}}$ ist ${\displaystyle PGL_{n}}$.
• Das Langlands-Dual von ${\displaystyle SO_{2n+1}}$ ist ${\displaystyle Sp_{2n}}$ und umgekehrt.
• Das Langlands-Dual von ${\displaystyle Spin_{2n}}$ ist ${\displaystyle SO_{2n}/\left\{\pm 1\right\}}$.
• Für ${\displaystyle G\in \left\{GL_{n},SO_{2n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}\right\}}$ ist ${\displaystyle {\widehat {G}}=G}$.

Motivation

Sei ${\displaystyle A}$ der Adelering zu ${\displaystyle F}$. Das Ziel des Langlands-Programms ist es, die Darstellung von ${\displaystyle G(A)}$ auf ${\displaystyle L^{2}(G(F)\backslash G(A),\mathbb {C} )}$ in durch Galois-Darstellungen nach ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ parametrisierte Summanden zu zerlegen.

Literatur

• J. W. Cogdell: Dual groups and Langlands functoriality in An introduction to the Langlands program, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-0-8176-8226-2