Laser-Linienbreite

Die Laser-Linienbreite ist die spektrale Linienbreite eines Laser-Strahls. In diesem Artikel werden die neuesten Erkenntnisse zur Entstehung der spektralen Kohärenz und Linienbreite eines Lasers dargestellt.

Theorie

Historie: Erste Herleitung der Laser-Linienbreite

Die erste von Menschenhand erschaffene kohärente Lichtquelle war ein „Maser“. Das Akronym MASER bedeutet „Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation“ (auf Deutsch: Mikrowellen-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung). Genauer gesagt war es der Ammoniak-Maser, der auf einer Wellenlänge von 12,5 mm emittiert, welcher 1954 von Gordon, Zeiger und Townes erstmals betrieben wurde. Ein Jahr später leiteten dieselben Autoren theoretisch die Maser-Linienbreite her, indem sie die sinnvollen Näherungen machten, dass ihr Ammoniak-Maser

(i) im Dauerstrahl-Betrieb (englisch: „continuous-wave“, cw) arbeitet,

(ii) ein ideales Vier-Niveau-Energieschema besitzt, und

(iii) keine intrinsischen Resonatorverluste erleidet, sondern lediglich Auskoppelverluste durch die Spiegel.

Bemerkenswerterweise basiert diese Herleitung auf rein semi-klassischen Annahmen. Sie beschreibt die Ammoniak-Moleküle als Quanten-Emitter, während klassische elektromagnetische Felder angenommen werden (dagegen keine quantisierten Felder oder Quantenfluktuationen). Daraus resultiert die halbe Halbwertsbreite (englisch: „half-width-at-half-maximum“, HWHM) der Maser-Emission

Δ ν_{M}^{*} = \frac{4 π k_{B} T (Δ ν_{c}^{*})^{2}}{P_{a u s}} \Leftrightarrow Δ ν_{M} = \frac{2 π k_{B} T (Δ ν_{c})^{2}}{P_{a u s}},

die hier mit einem Sternchen gekennzeichnet ist und auf die volle Halbwertsbreite (englisch: „full-width-at-half-maximum“, FWHM) $Δ ν_{M} = 2 Δ ν_{M}^{*}$ der Maser-Emission umgerechnet wird. $k_{B}$ ist die Boltzmann-Konstante, $T$ ist die Temperatur, $P_{a u s}$ ist die Ausgangsleistung des Lasers, und $Δ ν_{c}^{*}$ und $Δ ν_{c} = 2 Δ ν_{c}^{*}$ sind die passiven HWHM- und FWHM-Linienbreiten des verwendeten Mikrowellen-Resonators.

Im Jahr 1958, zwei Jahre bevor Maiman den ersten Laser baute (welcher zunächst als „optischer Maser“ bezeichnet wurde), transferierten Schawlow und Townes die Maser-Linienbreite in den sichtbaren und nah-infraroten Spektralbereich, indem sie die thermische Energie $k_{B} T$ durch die Photonenenergie $h ν_{L}$ ersetzten. $h$ ist die Planck-Konstante und $ν_{L}$ die Frequenz des Laserlichts. Dieser Transfer beinhaltet die Näherung, dass

(iv) während der Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ ein Photon durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt wird,

und führt zur Schawlow-Townes-Linienbreite:

Δ ν_{L, S T}^{*} = \frac{4 π h ν_{L} (Δ ν_{c}^{*})^{2}}{P_{a u s}} \Leftrightarrow Δ ν_{L, S T} = \frac{2 π h ν_{L} (Δ ν_{c})^{2}}{P_{a u s}} .

Auch der Transfer vom Mikrowellen- zum optischen Spektralbereich beruht auf einer rein semi-klassischen Grundlage, ohne die Annahme von quantisierten Feldern oder Quanten-Fluktuationen. Daher basiert die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung komplett auf semi-klassischen physikalischen Annahmen und ist eine vierfache Näherung einer allgemeineren Laser-Linienbreite, die im Folgenden hergeleitet wird.

Passive Resonator-Mode: Resonatorabklingzeit

Betrachtet wird ein aus zwei Spiegeln bestehender Fabry-Pérot-Resonator der geometrischen Länge $ℓ$ , der homogen ausgefüllt ist mit einem aktiven Laser-Medium, das einen Brechungsindex $n$ hat. Wir definieren als Referenz-Situation die passive Resonator-Mode, deren aktives Laser-Medium transparent ist, d. h., es bewirkt weder Verstärkung noch Absorption von Licht.

Licht bewegt sich im Resonator mit der Geschwindigkeit $c = c_{0} / n$ fort, wobei $c_{0}$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Somit sind die Resonator-Umlaufzeit $t_{R T}$ und der freie Spektralbereich $Δ ν_{F S R}$ gegeben durch

t_{R T} = \frac{1}{Δ ν_{F S R}} = \frac{2 ℓ}{c} .

Licht in der uns interessierenden longitudinalen Resonator-Mode oszilliert auf der q-ten Resonanzfrequenz

ν_{L} = \frac{q}{t_{R T}} = q Δ ν_{F S R} .

Die exponentielle Auskopplungszeit $τ_{a u s}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1 / τ_{a u s}$ ergeben sich aufgrund der Spiegelreflektionen $R_{i}$ der beiden Resonator-Spiegel $i = 1, 2$ zu

R_{1} R_{2} = e^{- t_{R T} / τ_{a u s}} \Rightarrow \frac{1}{τ_{a u s}} = \frac{- \ln (R_{1} R_{2})}{t_{R T}} .

Die exponentielle intrinsische Verlustzeit $τ_{v e r l}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1 / τ_{v e r l}$ ergeben sich aufgrund der intrinsischen Resonatorverluste $L_{R T}$ pro Resonator-Umlauf zu

1 - L_{R T} = e^{- t_{R T} / τ_{v e r l}} \Rightarrow \frac{1}{τ_{v e r l}} = \frac{- \ln (1 - L_{R T})}{t_{R T}} .

Die resultierende exponentielle Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1 / τ_{c}$ betragen somit

\frac{1}{τ_{c}} = \frac{1}{τ_{a u s}} + \frac{1}{τ_{v e r l}} = \frac{- \ln [R_{1} R_{2} (1 - L_{R T})]}{t_{R T}} .

Alle drei exponentiellen Zerfallszeiten mitteln über die Resonator-Umlaufzeit $t_{R T} .$ Im Folgenden nehmen wir an, dass $ℓ$ , $n$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ und $L_{R T}$ und daher auch $τ_{a u s}$ , $τ_{v e r l}$ und $τ_{c}$ sich innerhalb des Spektralbereichs, der für die Laser-Linienbreite von Interesse ist, nicht wesentlich ändern.

Passive Resonator-Mode: Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Neben der Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ kann man die spektralen Kohärenz-Eigenschaften der passiven Resonator-Mode äquivalent durch folgende Parameter ausdrücken. Die FWHM-Lorentz-Linienbreite $Δ ν_{c}$ der passiven Resonator-Mode, die in der Schawlow-Townes-Gleichung auftritt, erhält man durch Fourier-Transformation der exponentiellen Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ in den Frequenzraum,

Δ ν_{c} = \frac{1}{2 π τ_{c}} .

Der Qualitätsfaktor (Q-Faktor) $Q_{c}$ ist definiert als die Energie $W_{s p e i c h}$ , die im Resonator gespeichert ist, geteilt durch die Energie $W_{l o s t}$ , die pro Oszillationszyklus des Lichts verloren geht,

Q_{c} = 2 π \frac{W_{s p e i c h} (t)}{W_{l o s t} (t)} = 2 π \frac{φ (t)}{- \frac{1}{ν_{L}} \frac{d}{d t} φ (t)} = 2 π ν_{L} τ_{c} = \frac{ν_{L}}{Δ ν_{c}},

wobei $φ = W_{s p e i c h} / h ν_{L}$ die Zahl der Photonen in der Resonator-Mode ist. Die Kohärenzzeit $τ_{c}^{c o h}$ und die Kohärenzlänge $ℓ_{c}^{c o h}$ des Lichts, das aus der Resonator-Mode emittiert wird, sind gegeben durch die Gleichung

τ_{c}^{c o h} = \frac{1}{c} ℓ_{c}^{c o h} = 2 τ_{c} .

Aktive Resonator-Mode: Verstärkung, Resonatorabklingzeit, Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Unter Berücksichtigung der Besetzungsdichten $N_{2}$ und $N_{1}$ des oberen und unteren Laser-Niveaus und der effektiven Wirkungsquerschnitte $σ_{e}$ und $σ_{a}$ der stimulierten Emission und der Absorption auf der Resonanz-Frequenz $ν_{L}$ ergibt sich die Verstärkung pro Längeneinheit im aktiven Laser-Medium auf der Resonanz-Frequenz $ν_{L}$ zu

g = σ_{e} N_{2} - σ_{a} N_{1} .

Ein Wert $g > 0$ bedeutet Verstärkung auf der Resonanz-Frequenz $ν_{L}$ , während ein Wert $g < 0$ Absorption bedeutet. Dies resultiert in einer entsprechend verlängerten oder verkürzten Resonatorabklingzeit $τ_{L}$ , mit der die Photonen sich aus der aktiven Resonator-Mode entfernen:

\frac{1}{τ_{L}} = \frac{1}{τ_{c}} - c g .

Die anderen vier Eigenschaften der spektralen Kohärenz der aktiven Resonator-Mode erhält man in derselben Weise wie für die passive Resonator-Mode. Die Lorentz-Linienbreite ergibt sich durch Fourier-Transformation in den Frequenzraum,

Δ ν_{L} = \frac{1}{2 π τ_{L}} .

Ein Wert $g > 0$ führt zu Verstärkungsreduzierung der Linienbreite, während ein Wert $g < 0$ zu Absorptionsverbreiterung führt. Der Q-Faktor beträgt

Q_{L} = 2 π \frac{W_{s p e i c h} (t)}{W_{l o s t} (t)} = 2 π \frac{φ (t)}{- \frac{1}{ν_{L}} \frac{d}{d t} φ (t)} = 2 π ν_{L} τ_{L} = \frac{ν_{L}}{Δ ν_{L}} .

Die Kohärenzzeit und -länge betragen

τ_{L}^{c o h} = \frac{1}{c} ℓ_{L}^{c o h} = 2 τ_{L} .

Spektraler Kohärenzfaktor

Der Faktor, um den die Resonatorabklingzeit durch Verstärkung verlängert oder durch Absorption verkürzt wird, wird hier als sogenannter spektraler Kohärenzfaktor $Λ$ eingeführt:

Λ := \frac{1}{1 - c g τ_{c}} .

Alle fünf oben eingeführten Parameter, die gleichbedeutend die spektrale Kohärenz beschreiben, skalieren mit demselben spektralen Kohärenzfaktor $Λ$ :

τ_{L} = Λ τ_{c}, (Δ ν_{L})^{- 1} = Λ (Δ ν_{c})^{- 1}, Q_{L} = Λ Q_{c}, τ_{L}^{c o h} = Λ τ_{c}^{c o h}, ℓ_{L}^{c o h} = Λ ℓ_{c}^{c o h} .

Lasende Resonator-Mode: Fundamentale Laser-Linienbreite

Für eine gegebene Zahl $φ$ an Photonen, die sich in der lasenden Resonator-Mode befinden, lauten die stimulierte Emissionsrate und Resonator-Abklingrate:

R_{s t i m} = c g φ,

R_{a b k l i n g} = \frac{1}{τ_{c}} φ .

Der spektrale Kohärenzfaktor beträgt somit

Λ = \frac{R_{a b k l i n g}}{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}} .

Die Resonatorabklingzeit der lasenden Resonator-Mode beträgt

τ_{L} = Λ τ_{c} = \frac{R_{a b k l i n g}}{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}} τ_{c} .

Die fundamentale Laser-Linienbreite beträgt

Δ ν_{L} = \frac{1}{Λ} Δ ν_{c} = \frac{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} .

Diese fundamentale Linienbreite gilt für Laser mit beliebigem Energie-Niveau-Schema (Vier- oder Drei-Niveau-Schema oder irgendeine Situation zwischen diesen beiden Extremen), im Betrieb unterhalb, an, und oberhalb der Laser-Schwelle, einer Verstärkung, die kleiner, gleich, oder größer als die Verluste ist, und in einem CW- oder transienten Laser-Regime.

Aus dieser Herleitung wird deutlich, dass die fundamentale Linienbreite eines CW-Lasers auf dem semi-klassischen Effekt beruht, dass die Verstärkung die Resonatorabklingzeit verlängert.

Dauerstrahl-Laser: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste

Die spontane Emissionsrate in die lasende Resonator-Mode hinein ist gegeben durch

R_{s p o n} = c σ_{e} N_{2} .

Es ist zu beachten, dass $R_{s p o n}$ grundsätzlich eine positive Rate ist, weil bei jedem einzelnen Emissionsprozess eine atomare Anregung in ein Photon in der Laser-Mode umgewandelt wird. Diese Rate ist der Quellterm der Laserstrahlung und darf keinesfalls als „Rauschen“ missinterpretiert werden. Die Photonen-Ratengleichung für eine einzelne Laser-Mode ergibt sich als

\frac{d}{d t} φ = R_{s p o n} + R_{s t i m} - R_{a b k l i n g} = c σ_{e} N_{2} + c g φ - \frac{1}{τ_{c}} φ .

Ein CW-Laser zeichnet sich durch eine zeitlich konstante Photonenzahl in der Laser-Mode aus. Daher ist $d φ / d t = 0$ . In einem CW-Laser kompensieren die stimulierte und spontane Emissionsrate gemeinsam die Resonator-Abklingrate. Daher ist

R_{s t i m} - R_{a b k l i n g} = - R_{s p o n} < 0.

Die stimulierte Emissionsrate ist kleiner als die Resonator-Abklingrate. Anders ausgedrückt: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste. Diese Tatsache ist seit Jahrzehnten bekannt und wurde dazu ausgenutzt, das Verhalten von Halbleiter-Lasern an der Laser-Schwelle quantitativ zu beschreiben. Selbst weit oberhalb der Laser-Schwelle ist die Verstärkung immer noch minimal kleiner als die Verluste. Es ist genau dieser extrem kleine Unterschied, der die endliche Linienbreite eines CW-Lasers hervorruft.

Aus dieser Herleitung wird klar, dass ein Laser grundlegend ein Verstärker spontaner Emission ist und die CW-Laser-Linienbreite durch den semi-klassischen Effekt hervorgerufen wird, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste. Auch in quantenoptischen Beschreibungen der Laser-Linienbreite, die auf der Dichteoperator-Hauptgleichung beruhen, kann gezeigt werden, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.

Schawlow-Townes-Näherung

Wie oben bereits erwähnt, wird aus ihrer historischen Herleitung klar, dass die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung der fundamentalen Laser-Linienbreite ist. Ausgehend von der fundamentalen Laser-Linienbreite $Δ ν_{L}$ , die oben hergeleitet wurde, erhält man durch explizite Anwendung der vier Näherungen (i)-(iv) genau die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung:

(i) Es ist ein reiner CW-Laser. Entsprechend gilt

R_{a b k l i n g} - R_{s t i m} = R_{s p o n} \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{1}{Λ} Δ ν_{c} = \frac{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} = \frac{R_{s p o n}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} .

(ii) Es ist ein idealer Vier-Niveau-Laser. Entsprechend gilt

N_{1} = 0 \Rightarrow c g = c (σ_{e} N_{2} - σ_{a} N_{1}) = c σ_{e} N_{2} = R_{s p o n} \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{R_{s p o n}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} = \frac{c g}{\frac{1}{τ_{c}} φ} Δ ν_{c} .

(iii) Intrinsische Resonator-Verluste sind vernachlässigbar. Entsprechend gilt

\frac{1}{τ_{v e r l}} = 0 \Rightarrow \frac{1}{τ_{c}} = \frac{1}{τ_{a u s}} \Rightarrow P_{a u s} = h ν_{L} \frac{1}{τ_{a u s}} φ = h ν_{L} \frac{1}{τ_{c}} φ \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{c g}{\frac{1}{τ_{c}} φ} Δ ν_{c} = \frac{c g h ν_{L}}{P_{a u s}} Δ ν_{c} .

(iv) Genau ein Photon wird während der Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt. Geschehen würde dies in einem idealen Vier-Niveau-CW-Laser genau an dem unerreichbaren Punkt, an dem der spektrale Kohärenz-Faktor $Λ$ , die Photonenzahl $φ$ in der Resonator-Mode und die Ausgangsleistung $P_{a u s}$ unendlich groß werden, also an dem Punkt, an dem die Verstärkung gleich den Verlusten würde. Entsprechend gilt

R_{s t i m} = R_{a b k l i n g} \Rightarrow R_{s p o n} = c g = \frac{1}{τ_{c}} = 2 π Δ ν_{c} \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{c g h ν_{L}}{P_{a u s}} Δ ν_{c} = \frac{2 π h ν_{L} (Δ ν_{c})^{2}}{P_{a u s}} = Δ ν_{L, S T} .

Das heißt, wenn man dieselben vier Näherungen (i)-(iv), die bereits in der ersten Herleitung benutzt wurden, auf die fundamentale Laser-Linienbreite $Δ ν_{L}$ anwendet, erhält man konsequenterweise die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung.

Zusammenfassend lautet die fundamentale Laser-Linienbreite

Δ ν_{L} = \frac{1}{Λ} Δ ν_{c} = \frac{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} = (1 - c g τ_{c}) Δ ν_{c} = Δ ν_{c} - \frac{c g}{2 π},

während die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung dieser fundamentalen Laser-Linienbreite und daher hauptsächlich von historischer Bedeutung ist.

Zusätzliche Mechanismen der Linienverbreiterung und -verengung

Nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1958 wurde die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung auf verschiedene Weisen erweitert. Diese erweiterten Gleichungen werden oftmals mit demselben Namen bezeichnet, nämlich der Schawlow-Townes-Linienbreite. Dadurch ist in der publizierten Literatur zur Laser-Linienbreite durchaus Konfusion entstanden, da oft unklar ist, welche Erweiterung der ursprünglichen Schawlow-Townes-Gleichung die jeweiligen Autoren betrachten oder benutzen.

Einige semi-klassische Erweiterungen hatten zum Ziel, eine oder mehrere der oben genannten Näherungen (i)-(iv) zu eliminieren, wodurch diese erweiterten Gleichungen der oben hergeleiteten fundamentalen Laser-Linienbreite in ihrem physikalischen Gehalt ähnlicher wurden.

Folgende mögliche Erweiterungen der fundamentalen Laser-Linienbreite wurden vorgeschlagen:

Hempstead und Lax, sowie unabhängig Hermann Haken, sagten quantenmechanisch vorher, dass nahe der Laser-Schwelle eine zusätzliche Reduzierung der Laser-Linienbreite um einen Faktor zwei auftritt. Allerdings wurde eine solche Reduzierung nur in ganz wenigen Fällen experimentell beobachtet.
Petermann erklärte semi-klassisch eine zuvor experimentell beobachtete Linienverbreiterung in durch optische Verstärkung anstatt durch einen Brechungsindex-Unterschied wellenleitenden Halbleiter-Lasern. Siegman zeigte später, dass dieser Effekt durch die Nicht-Orthogonalität transversaler Moden hervorgerufen wird. Woerdman und Mitarbeiter erweiterten diese Idee auf longitudinale Moden und Polarizationsmoden. Daher wird manchmal der sogenannte „Petermann-K-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.
Henry sagte quantenmechanisch eine zusätzliche Linienverbreiterung vorher, die dadurch auftritt, dass Variationen des Brechungsindex aufgrund von Elektron-Loch-Paar-Anregungen in Halbleiter-Lasern (aber natürlich auch in allen anderen Anregungsprozessen) Phasenvariationen im Resonator-Umlauf bewirken. Daher wird manchmal der sogenannte „Henry- $α$ -Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

Messung der Laser-Linienbreite

Eine der ersten Methoden zur Messung der spektralen Kohärenz eines Lasers war die Interferometrie. Eine typische Methode zur Messung der Laser-Linienbreite ist selbst-heterodyne Interferometrie.

Dauerstrich-Laser

Seltenerd-dotierte dielektrische oder Halbleiter-basierte Laser mit verteilter Rückkopplung durch integrierte Bragg-Spiegel haben typische Linienbreiten in der Größenordnung von 1 kHz. Die Laser-Linienbreite stabilisierter CW-Laser kann weit weniger als 1 kHz betragen. Beobachtete Linienbreiten sind größer als die fundamentale Laser-Linienbreite, da technische Einflüsse auftreten (z. B. zeitliche Fluktuationen der optischen oder elektrischen Pumpleistung, mechanische Vibrationen, Brechungsindex- und Längenänderungen aufgrund von Temperaturschwankungen usw.).

Einzelnachweise

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