Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring $R$ ist ein Ausdruck der Form

p (X) = \sum_{k \in ℤ} a_{k} X^{k}, a_{k} \in R

,

bei dem nur endlich viele Ringelemente $a_{k}$ von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: $\sum_{i \in ℤ} a_{i} X^{i} + \sum_{i \in ℤ} b_{i} X^{i} = \sum_{i \in ℤ} (a_{i} + b_{i}) X^{i}$ ,

Multiplikation: $\sum_{i \in ℤ} a_{i} X^{i} \cdot \sum_{j \in ℤ} b_{j} X^{j} = \sum_{k \in ℤ} (\sum_{i, j : i + j = k} a_{i} b_{j}) X^{k}$ .

Diese Operationen machen die Menge $R [X, X^{- 1}]$ zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über $R$ . Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen $a \in R$ in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: $a \cdot \sum_{i \in ℤ} a_{i} X^{i} = \sum_{i \in ℤ} (a a_{i}) X^{i}$ .

In vielen Anwendungen ist $R$ ein Körper, $R [X, X^{- 1}]$ ist dann eine $R$ -Algebra.

Eigenschaften

Man erhält $R [X, X^{- 1}]$ aus dem Polynomring $R [X]$ , indem man die Unbestimmte $X$ invertiert. Der Laurent-Ring über $R$ ist damit die Lokalisierung von $R [X]$ nach der von den positiven Potenzen von $X$ erzeugten Halbgruppe.
Die Einheiten von $R [X, X^{- 1}]$ sind von der Form $a X^{i}$ , wobei $a \in R$ eine Einheit und $i \in ℤ$ ist.
Der Laurent-Ring über $R$ ist isomorph zum Gruppenring von $ℤ$ über $R$ .

Derivationen des Laurent-Rings

Es sei $R$ ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf $R [X, X^{- 1}]$ eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

\frac{\partial}{\partial X} : \sum_{i \in ℤ} a_{i} X^{i} \mapsto \sum_{i \in ℤ} i \cdot a_{i} X^{i - 1}

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes $p (X) \in R [X, X^{- 1}]$ durch die Definition $T_{p (X)} := p (X) \frac{\partial}{\partial X}$ eine Derivation gegeben. Dies ist die allgemeinste Derivation auf $R [X, X^{- 1}]$ . Ist nämlich $T$ eine solche Derivation, so ist $p (X) := T (1 \cdot X) \in R [X, X^{- 1}]$ und man kann $T = T_{p (X)}$ zeigen.

Die Derivationen $d_{n} := T_{- X^{n + 1}} = - X^{n + 1} \frac{\partial}{\partial X}, n \in ℤ$ , bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

$[d_{m}, d_{n}] = (m - n) d_{m + n}$ für alle $m, n \in ℤ$ .

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

$d_{0} (X^{n}) = - n \cdot X^{n}$ für alle $n \in ℤ$ .

Daher nennt man $- d_{0}$ auch die Grad-Derivation.

Einzelnachweise

↑ Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1

[1] Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1