Legendresche Chi-Funktion

Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

Es gilt folgende Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,{\frac {1}{x}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (x)-\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {x\,{\sqrt {1-y^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}}$

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y}$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

${\displaystyle \chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}$

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert ${\displaystyle x=1}$ in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

${\displaystyle \chi _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y={\biggl [}{\frac {1}{2}}\arcsin(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

Theorem für tangentielle Gegenstücke

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} (x)\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \chi _{2}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}+\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}}$

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

${\displaystyle {\begin{matrix}\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}{\bigl [}\ln({\sqrt {2}}+1){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-1})&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl [}\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-3})&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl [}\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\end{matrix}}}$

mit der imaginären Einheit ${\displaystyle {\rm {i}}}$, der Goldenen Zahl ${\displaystyle \Phi =({\sqrt {5}}+1)/2}$ und der catalanschen Konstanten ${\displaystyle G}$.