Kroneckersches Lemma

Das Kroneckersche Lemma handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Es ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker.

Lemma

Sei $(a_{k})_{k \in ℕ}$ eine Folge reeller Zahlen.

Sei $(b_{k})_{k \in ℕ}$ eine monotone, unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen.

Falls $\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}}$ konvergiert, so folgt $\frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \to 0$ .

Obiges Lemma vereinfacht sich beim Setzen von $b_{k} = k$ für alle $k \in ℕ$ zu folgender Aussage:

Sei $(a_{k})_{k \in ℕ}$ eine Folge reeller Zahlen.

Falls $\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{k}$ konvergiert, so folgt $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \to 0$ .

Das Kroneckersche Lemma kann man zum Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwenden.

Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 978-3-519-12395-8. Seiten 190 und 194
Acta Mathematica Hungarica, Volume 44, Numbers 1–2, März 1984, Seiten 143 und 144