Lemoinepunkt

Der Lemoinepunkt eines Dreiecks, auch Lemoinescher Punkt, Grebepunkt oder Symmedianenpunkt genannt, ist ein ausgezeichneter Punkt im Dreieck. Er ist der Schnittpunkt der an den Winkelhalbierenden gespiegelten Seitenhalbierenden, der Symmediane.

Eigenschaften

• Der Lemoinepunkt ist definitionsgemäß isogonal konjugiert zum Schwerpunkt.
• Wenn wir das Dreieck mit ABC bezeichnen und den Lemoinepunkt mit L, dann sind die Abstände des Punktes L zu den Geraden BC, CA und AB proportional zu den Längen der Seiten BC, CA und AB des Dreiecks ABC.
• Der Lemoinepunkt ist Lösung eines gelegentlich wichtigen Optimierungsproblems: Wenn wir einen Punkt P in der Ebene des Dreiecks ABC betrachten, dann ist die Summe der Quadrate der Abstände von dem Punkt P zu den Seiten BC, CA und AB genau dann minimal, wenn P mit dem Lemoinepunkt L des Dreiecks ABC übereinstimmt.
• Dieses Optimierungsproblem wird ebenfalls gelöst bzw. der Lemoinepunkt gefunden, wenn die drei Seiten des Dreiecks durch drei lineare Gleichungen der entsprechenden Geraden in Hesse-Normalform in zwei Variablen ausgedrückt werden und eine ausgleichende Lösung des überbestimmten linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt wird.
• Der Lemoinepunkt des größeren Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt wird, ist der sogenannte Mittenpunkt des Dreiecks.

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Lemoine-Punkts (${\displaystyle X_{6}}$) sind (gleichwertig)

${\displaystyle a:b:c}$ oder

${\displaystyle \sin \alpha$ :\sin \beta :\cos \gamma } .

Die baryzentrischen Koordinaten sind

${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$.

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}$ die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Größen der Innenwinkel.

Geschichte

Der Punkt ist in England und Frankreich nach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine und in Deutschland auch nach dem deutschen Mathematiker Ernst Wilhelm Grebe benannt, die beide zu ihm publizierten. Allerdings war der Punkt bereits vor ihren Publikationen bekannt.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 213, 268, 271, 303 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• J. S. Mackay: Early History of the Symmedian Point. In: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Band 11, Februar 1892, S. 92–103 (Digitalisat)
• A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 53–78 (Digitalisat)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Symmedian Point. In: MathWorld (englisch).
• X6 Der Symmedian Point. Eine umfangreiche Darstellung mit diversen weiterführenden Aussagen

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 83–84. 
2. 1 2 Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(6). Abgerufen am 24. Januar 2025.