Newtonsche Gesetze

Erstes Newtonsches Gesetz

Das erste Newtonsche Gesetz wird auch lex prima, Trägheitsprinzip, Trägheitsgesetz oder Inertialgesetz genannt. Das Trägheitsprinzip macht Aussagen über die Bewegung von physikalischen Körpern in Inertialsystemen:

„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, sofern jener nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“

Lateinischer Originaltext:

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.

Die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ist also in Betrag und Richtung konstant. Eine Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch Ausübung einer Kraft von außen erreicht werden, beispielsweise durch die Gravitationskraft oder die Reibungskraft. Man beachte, dass innere Kräfte, also Kräfte zwischen den Teilen eines zusammengesetzten Körpers, seine Bewegung als Ganzes nicht beeinflussen.

Andere Formulierungen lauten:

Wirkt auf einen Körper keine Kraft, so ist seine Geschwindigkeit zeitlich konstant.

Wenn auf einen Massenpunkt keine Kraft wirkt, so ist sein Impuls konstant. Dabei ist der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit.

Daraus folgt nicht, dass gar keine Kraft wirkt, wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Dasselbe Ergebnis tritt nämlich auch dann ein, wenn mehrere Kräfte auf ihn wirken, die einander in ihrer Wirkung aufheben. In diesem Fall befindet er sich im Kräftegleichgewicht und es wirkt keine resultierende Kraft.

Die obigen Fassungen gelten nur dann, wenn die Bewegung in einem Inertialsystem beschrieben wird. Das erste Newtonsche Gesetz ist dann lediglich ein Spezialfall des zweiten. In den modernen Werken zur theoretischen Mechanik wird meist zunächst das Bezugssystem definiert und das erste Newtonsche Gesetz in der folgenden oder einer ähnlichen Fassung eingeführt.

Es gibt Koordinatensysteme, in denen sich jeder kräftefreie Massepunkt geradlinig gleichförmig bewegt oder ruht. Diese besonders wichtigen Koordinatensysteme werden Inertialsysteme genannt.

Das erste Newtonsche Axiom wird somit als Definition für den Begriff des Inertialsystems genutzt.

Zweites Newtonsches Gesetz

Das zweite Newtonsche Gesetz wird auch lex secunda, Aktionsprinzip oder Impulssatz genannt. Es ist die Grundlage für viele Bewegungsgleichungen der Mechanik:

„Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.“

Lateinischer Originaltext:

„Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.“

Mit „Bewegung“ meint Newton hier den Impuls, also das Produkt aus Geschwindigkeit und Masse des Körpers. Formal wird dieser Zusammenhang zwischen Kraft und Impulsänderung als ${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}\propto {\vec {F}}}$ ausgedrückt, wobei ${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}}$ die Zeitableitung (momentane Änderungsrate) des Impulses und ${\displaystyle {\vec {F}}}$ die resultierende äußere Kraft bezeichnet. Sofern für die Kraft eine kohärente Einheit verwendet wird, wie beispielsweise das Newton im Internationalen Einheitensystem (SI), kann diese Beziehung als Gleichung geschrieben werden:

${\displaystyle {\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}}$

Diese Formulierung wird vor allem in der Technischen Mechanik und der Strömungslehre als Impulssatz bezeichnet; in der Physik versteht man unter dieser Bezeichnung hingegen meist den Impulserhaltungssatz. In Worten ausgedrückt bedeutet die Gleichung, dass die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers der resultierenden äußeren Kraft entspricht, die auf ihn wirkt. Sie gilt ganz allgemein und beschreibt insbesondere auch die Bewegung von Körpern mit veränderlicher Masse (wie beispielsweise Raketen).

In den meisten Fällen ändert sich die Masse nicht oder nur unwesentlich mit der Zeit. Ist die Masse zeitlich konstant, kann sie vor die Zeitableitung gezogen werden. Man erhält dann die spezielle Gleichung ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\dot {\vec {v}}}}$ beziehungsweise

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$

mit der Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}}$. Vor allem in dieser letzten Schreibweise wird die Beziehung häufig als Grundgleichung der Mechanik bezeichnet. Sie wurde in dieser Form erstmals 1750 von Leonhard Euler formuliert. Für die Bewegung in einer Dimension, d. h. ohne Änderung der Richtung, wurde diese Form des 2. Newtonschen Gesetzes bereits 1716 von Jakob Hermann angegeben.

In seinem Originalwerk postulierte Newton für die einwirkende Kraft und die resultierende Bewegungsänderung eine Proportionalität, allerdings nicht in einer der heute üblichen Formen (wie ${\displaystyle {\vec {F}}\propto {\dot {\vec {p}}}}$ oder ${\displaystyle {\vec {F}}=\mathrm {const} \cdot {\dot {\vec {p}}}}$) und erst recht nicht als Gleichsetzung (mit ${\displaystyle \mathrm {const} =1}$). Er arbeitete, wie zu seiner Zeit üblich, vorrangig mit Quotienten zweier gleichartiger Größen (entsprechend z. B. ${\displaystyle F_{1}/F_{2}={\dot {p}}_{1}/{\dot {p}}_{2}}$) statt mit Quotienten oder Produkten von Größen verschiedener Art. Die mathematische Gleichsetzung von begrifflich so verschiedenen Dingen wie Kraft und Impulsänderungsrate wurde erst später von Jakob Hermann, Leonhard Euler (in der Form ${\displaystyle {\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}}$) und d’Alembert (in der Form ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {traeg} }=-m{\ddot {\vec {x}}}}$ für die Trägheitskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {traeg} }=-{\vec {F}}}$) vollzogen.

Das 2. Newtonsche Gesetz kann auch in integraler Form dargestellt werden:

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t={\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0}=\Delta {\vec {p}}}$

Das Integral der Kraft über die Zeit oder (im Falle einer konstanten Kraft) das Produkt aus Kraft und Einwirkungsdauer wird auch als Kraftstoß bezeichnet. Die Kraft kann somit als Ursache für die Änderung des Impulses gedeutet werden. Kräfte, die parallel oder antiparallel zur Bewegungsrichtung wirken, verändern den Betrag des Impulses; wirken sie rechtwinklig zur Bewegung, so ändern sie dessen Richtung; Kräfte, die schiefwinklig angreifen, beeinflussen beides. Falls die resultierende Kraft null ist, folgt daraus der Impulserhaltungssatz. (siehe Erstes Newtonsches Gesetz)

Drittes Newtonsches Gesetz

Das dritte Newtonsche Gesetz, auch lex tertia, Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip genannt, besagt:

„Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“

Lateinischer Originaltext:

„Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.“

${\displaystyle {\vec {F}}_{A\to B}=-{\vec {F}}_{B\to A}}$

Das Wechselwirkungsprinzip wird auch als Prinzip von actio und reactio bezeichnet.

Im Unterschied zum Kräftegleichgewicht wirken die beiden Kräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{A\to B}}$ und ${\displaystyle {\vec {F}}_{B\to A}}$ nicht auf denselben, sondern auf verschiedene Körper. Sie heben sich also nicht gegenseitig auf.

Das dritte Newtonsche Gesetz setzt voraus, dass die Wirkung der wechselseitigen Kräfte auf beide Körper unmittelbar, also gleichzeitig erfolgt. Während das bei Körpern, die sich direkt berühren, naheliegend ist, macht es bei weit voneinander entfernten Körpern eine unverzügliche Fernwirkung erforderlich. Dies ist nach heutigem Verständnis der Physik nicht möglich. In der speziellen Relativitätstheorie (und damit der Elektrodynamik) und der allgemeinen Relativitätstheorie zeigt sich, dass das dritte Newtonsche Gesetz nicht immer anwendbar ist – verwendbar ist weiterhin die Impulserhaltung des Gesamtsystems (Teilchen plus Feld). Der Unterschied zwischen der von Newton postulierten Fernwirkung und der verzögerten Kraftübertragung durch Felder wirkt sich vor allem auf relativ zueinander bewegte Körper aus, die Verzögerung ist gut durch Beobachtungen bestätigt.

Das Wechselwirkungsprinzip lässt sich auch so formulieren, dass in einem aus mehreren Körpern bestehenden System die Vektorsumme der Kräfte zwischen den Körpern gleich Null ist.

Superpositionsprinzip der Kräfte

In Newtons Werk wird das Prinzip der ungestörten Überlagerung oder Superpositionsprinzip der Mechanik als Zusatz zu den Bewegungsgesetzen beschrieben.

„Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},\dots ,{\vec {F}}_{n}}$, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ auf.“

${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{res}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}+\dots +{\vec {F}}_{n}}$

Später wurde dieses Superpositionsprinzip auch als lex quarta, als viertes Newtonsches Gesetz bezeichnet.

Last an einer festen Rolle

Als einfaches Anwendungsbeispiel soll hier eine Last dienen, die an einem Seil hängt, das über eine feste Rolle läuft (siehe Abbildung).

1. Auf die Last wirkt eine Gewichtskraft ${\displaystyle F=mg}$ von (beispielsweise) 100 N nach unten. Gleichzeitig wirkt durch das gespannte Seil auf die Last eine Kraft von 100 N nach oben. Diese beide Kräfte heben sich auf. Die Last befindet sich also im Kräftegleichgewicht. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz befindet sie sich entweder in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf oder ab. Entgegen der Intuition ist für das Heben und Senken einer Last die gleiche Kraft erforderlich.
2. Wenn man das Seil loslässt, wird die Last immer noch mit einer Kraft von 100 N nach unten gezogen. Es fehlt aber die nach oben gerichtete Kraft. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz beginnt die Last nun beschleunigt nach unten zu fallen. Die Fallbeschleunigung berechnet sich nach der Grundgleichung der Mechanik aus der Kraft und der Masse der Last: ${\displaystyle a={\frac {F}{m}}=g}$. Offensichtlich hängt diese Beschleunigung nur vom Schwerefeld der Erde, nicht aber von der Masse der Last ab. (Mit anderen Worten: Auf der Erde fallen alle Körper gleich schnell, sofern andere Kräfte als die Gewichtskraft zu vernachlässigen sind).
3. Wenn ein Mensch mit der Kraft nach unten zieht, die in der Abbildung durch den roten Pfeil dargestellt wird, so erfährt er selbst nach dem dritten Newtonschen Gesetz eine nach oben wirkende Kraft. Dies wird spätestens dann offensichtlich, wenn er versucht, eine Last anzuheben, die schwerer ist als er selbst.
4. Auch die Gewichtskraft, die den frei fallenden Körper nach unten beschleunigt (actio), bewirkt eine entgegengesetzte, also nach oben gerichtete Kraft (reactio). Da die Gewichtskraft von der Gravitation der Erde hervorgerufen wird, muss also diese ebenso große Kraft auf die Erde wirken. Wegen ihrer enormen Masse ist die Beschleunigung der Erde nach oben aber nicht zu bemerken.
5. Man könnte den zweiten Punkt auch anders betrachten: Sobald man das Seil loslässt, wirkt keine (offensichtliche) Kraft mehr auf die Last. Betrachtet man den nun eintretenden Zustand als kräftefrei, so folgt nach dem ersten Newtonschen Gesetz, dass das Bezugssystem, in dem die frei fallende Last ruht, ein Inertialsystem ist. Demnach ist die zuvor wirksame Seilkraft nach dem zweiten Newtonschen Gesetz als eine nach oben beschleunigende Kraft zu sehen. Das Gewicht der Last ist dann nichts anderes als die Trägheit, die sich einer Beschleunigung nach oben widersetzt. Die Überlegung, dass diese Betrachtungsweise ebenso korrekt ist wie die weiter oben beschriebene, führt zum Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie.

Horizontales Federpendel (Harmonischer Oszillator)

Eine Masse ${\displaystyle m}$ kann sich reibungsfrei in horizontaler Richtung bewegen. Sie ist über eine Feder mit der Wand verbunden. Am Ort ${\displaystyle x=0}$ ist die Feder entspannt. Die Masse erfährt in horizontaler Richtung keine Kraft. Man bezeichnet diese Position auch als „Gleichgewichtslage“, da hier Kräftegleichgewicht herrscht. (In vertikaler Richtung wirkt die Gewichtskraft nach unten und die Stützkraft des Bodens nach oben. Diese beiden Kräfte heben sich gegenseitig auf. Da sich daran während der gesamten Bewegung der Masse nichts ändert, werden diese beiden Kräfte im Weiteren nicht mehr berücksichtigt).

1. Um die Feder um die Strecke ${\displaystyle x}$ zu dehnen, ist nach dem Hookeschen Gesetz eine Kraft ${\displaystyle F_{\mathrm {Feder} }=Dx}$ erforderlich. Folglich übt die Feder nach dem dritten Newtonschen Gesetz die Gegenkraft ${\displaystyle F=-Dx}$ auf die Masse aus. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Kraft entgegen der Auslenkung stets zur Gleichgewichtslage hin wirkt.
2. Da nur in der Gleichgewichtslage ${\displaystyle x=0}$ keine Kraft wirkt, ist es nach dem ersten Newtonschen Gesetz nur dort möglich, dass der Körper in Ruhe verharrt. An jedem anderen Ort wird er mehr oder weniger stark beschleunigt.
3. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt

${\displaystyle F(t)=ma(t)=-Dx(t)}$

Die Beschleunigung ist per Definition die zweite zeitliche Ableitung des Orts: ${\displaystyle a(t)={\ddot {x}}(t)}$. Es ergibt sich also eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${\displaystyle m{\ddot {x}}(t)+Dx(t)=0}$

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind zeitlich periodische Funktionen der Gestalt ${\displaystyle x(t)={\hat {x}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})}$. Die Masse kann also Schwingungen um die Gleichgewichtslage ausführen. Die Parameter ${\displaystyle {\hat {x}}}$ und ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ aus der Masse und der Federhärte: ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}}$.