Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen (oder Grenzwertmenge) diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbits (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

Definition

Sei $(T, X, Φ)$ ein dynamisches System mit $T = ℤ$ (diskret) oder $T = ℝ$ (kontinuierlich). T ist meist die Zeit und X der Zustandsraum. Sei $x \in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $ω$ -Limesmenge von $x$ ist

ω (x, Φ) := {y \in X : \exists t_{n} \to \infty, Φ (t_{n}, x) \to y}

.

Die $α$ -Limesmenge von $x$ ist

α (x, Φ) := {y \in X : \exists t_{n} \to - \infty, Φ (t_{n}, x) \to y}

.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

ω (x, Φ) = ⋂_{n \in T} \overline{{Φ (t, x) : t > n}}

,

α (x, Φ) = ⋂_{n \in T} \overline{{Φ (t, x) : t < n}}

.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $Φ$ . Falls $X$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

Literatur

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).