Lindblad-Gleichung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators ${\displaystyle \rho }$, welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

Hintergrund

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das ${\displaystyle N}$-dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix ${\displaystyle \rho }$ kann geschrieben werden als:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}[H,\rho ]+\sum _{n,m=1}^{N^{2}-1}h_{n,m}\left(L_{n}\,\rho \,L_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \,L_{m}^{\dagger }\,L_{n}+L_{m}^{\dagger }\,L_{n}\,\rho \right)\right)}$

Dabei bezeichnet

• der erste Summand den reversiblen Teil der Zeitentwicklung mit
  • der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$
  • der reduzierten Planck-Konstante ${\displaystyle \hbar }$
  • einem (hermiteschen) Hamilton-Operator ${\displaystyle H}$; ${\displaystyle H}$ ist jedoch nicht notwendigerweise gleich dem Hamilton-Operator des Systems, sondern beinhaltet zusätzlich die effektive unitäre Dynamik der Wechselwirkung zwischen System und Umgebung.
• die Summe ${\displaystyle \sum }$ den irreversiblen Teil mit
  • den Konstanten ${\displaystyle h_{n,m}}$, die die Dynamik festlegen. Sie bilden eine Koeffizientenmatrix ${\displaystyle h=(h_{n,m})}$, die positiv semidefinit sein muss, um sicherzustellen, dass die Gleichung spurerhaltend und komplett positiv ist.
  • den Operatoren ${\displaystyle L_{m}}$, die eine beliebige lineare Basis im Hilbertraum des Systems bilden.

Die Summation läuft nur über ${\displaystyle N^{2}-1}$, weil wir ${\displaystyle L_{N^{2}}}$ proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die ${\displaystyle L_{m}}$ für ${\displaystyle m<N^{2}}$ spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen ${\displaystyle m=n}$ gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

${\displaystyle L(C)\,\rho =C\,\rho \,C^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(C^{\dagger }\,C\,\rho +\rho \,C^{\dagger }\,C\right).}$

Falls die Terme ${\displaystyle h_{m,n}}$ alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen ${\displaystyle A}$ werden Lindblad-Gleichungen genannt:

${\displaystyle {\dot {A}}=-{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{\big )}}$

Diagonalisierung

Da die Matrix ${\displaystyle h=(h_{n,m})}$ positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation ${\displaystyle u}$ diagonalisiert werden:

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

wobei die Eigenwerte ${\displaystyle \gamma _{i}}$ nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis ${\displaystyle A}$ definieren:

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}u_{j,i}\,L_{j}}$

können wir die Lindblad-Gleichung in diagonaler Form umschreiben:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}[H,\rho ]+\sum _{i=1}^{N^{2}-1}\gamma _{i}\left(A_{i}\,\rho \,A_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \,A_{i}^{\dagger }\,A_{i}+A_{i}^{\dagger }\,A_{i}\,\rho \right)\right).}$

Diese Gleichung ist invariant unter unitärer Transformation der Lindblad-Operatoren und -Konstanten,

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}A_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}A_{i}'=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}v_{j,i}{\sqrt {\delta _{i}}}A_{j},}$

und auch unter inhomogener Transformation

${\displaystyle A_{i}\to A_{i}'=A_{i}+a_{i},}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\sum _{j=1}^{N^{2}-1}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}A_{j}-a_{j}A_{j}^{\dagger }\right).}$

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren ${\displaystyle A_{i}}$ (solange nicht alle ${\displaystyle \gamma _{i}}$ identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der ${\displaystyle \gamma _{i}}$, sind die ${\displaystyle A_{i}}$ der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer Oszillator

Ein häufiges Beispiel ist die Beschreibung der Dämpfung eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=a\\L_{2}&=a^{\dagger }\\h_{n,m}&={\begin{cases}{\tfrac {\gamma }{2}}\left({\bar {n}}+1\right)&n=m=1\\{\tfrac {\gamma }{2}}{\bar {n}}&n=m=2\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Hier ist

• ${\displaystyle {\bar {n}}}$ die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
• ${\displaystyle \gamma }$ die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, um diverse Formen von Dephasierung und Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) zu modellieren. Diese Methoden sind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden zur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

Literatur

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• G. Lindblad: On the generators of quantum dynamical semigroups. In: Communications in Mathematical Physics. Band 48, Nr. 2, 1. Juni 1976, ISSN 0010-3616, S. 119–130, doi:10.1007/BF01608499, bibcode:1976CMaPh..48..119L. 
• Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski, E. C. G. Sudarshan: Completely positive dynamical semigroups of N‐level systems. In: Journal of Mathematical Physics. Band 17, Nr. 5, 1. Mai 1976, ISSN 0022-2488, S. 821–825, doi:10.1063/1.522979 (aip.org). 
• G. Lindblad: Non-Equilibrium Entropy and Irreversibility. Springer Verlag, 1983, ISBN 1-4020-0320-X (books.google.com). 
• Thomas Banks, Leonard Susskind, Michael E. Peskin: Difficulties for the evolution of pure states into mixed states. In: Nuclear Physics B. Band 244, Nr. 1, 1984, doi:10.1016/0550-3213(84)90184-6, bibcode:1984NuPhB.244..125B. 
• Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18276-4. 
• Roman S. Ingarden, A. Kossakowski, M. Ohya: Information dynamics and open systems. Classical and quantum approach. Springer Verlag, Berlin 1997, ISBN 0-7923-4473-1. 
• Luigi Accardi, Yun Gang Lu, Igor V. Volovič: Quantum theory and its stochastic limit. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York / Barcelona / Hong Kong / London / Mailand / Paris / Tokyo 2002, ISBN 3-540-41928-4. 
• The Theory of Open Quantum Systems. Oxford University Press, New York 2002, ISBN 0-19-852063-8. 
• Open quantum systems. 2. The Markovian approach. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 3-540-30992-6. 
• Quantum mechanics of non-Hamiltonian and dissipative systems. Elsevier Science, Amsterdam / Boston / London / New York 2008, ISBN 978-0-08-055971-1. 
• C.W. Gardiner, Peter Zoller: Quantum noise. A handbook of Markovian and non-Markovian quantum stochastic methods with applications to quantum optics (= Springer Series in Synergetics). 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-06094-6. 

Weblinks

• The Lindblad master equation (Memento vom 23. Februar 2015 im Internet Archive) (englisch)