Linearer Operator

Linearer Operator

Es seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ reelle oder komplexe Vektorräume. Eine Abbildung ${\displaystyle T}$ von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ heißt linearer Operator, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ (bzw. ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$) die folgenden Bedingungen gelten:

1. ${\displaystyle T}$ ist homogen: ${\displaystyle T(\lambda x)=\lambda T(x)}$
2. ${\displaystyle T}$ ist additiv: ${\displaystyle T(x+y)=T(x)+T(y)}$

Antilinearer Operator

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ komplexe Vektorräume. Ein Operator ${\displaystyle T}$ von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$ heißt antilinearer Operator, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ die folgenden Bedingungen gelten:

1. ${\displaystyle T}$ ist antihomogen: ${\displaystyle T(\lambda x)={\overline {\lambda }}T(x)}$
2. ${\displaystyle T}$ ist additiv: ${\displaystyle T(x+y)=T(x)+T(y)}$

Lineare Operatoren

• Es sei ${\displaystyle A}$ eine reelle ${\displaystyle n\times m}$-Matrix. Dann ist die lineare Abbildung ${\displaystyle A\colon x\mapsto Ax}$ ein linearer Operator von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Die Menge der linearen Operatoren zwischen zwei fixierten Vektorräumen wird durch die Definition der Addition ${\displaystyle (S+T)(x):=S(x)+T(x)}$ und Skalarmultiplikation ${\displaystyle (\lambda S)(x):=\lambda S(x)}$ selbst zu einem Vektorraum.

• Der Ableitungsoperator ${\displaystyle D\colon C^{1}\to C}$, der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet ${\displaystyle f\mapsto Df=f'}$, ist ein linearer Operator.

• Seien ${\displaystyle a<b}$ zwei reelle Zahlen. Der Operator ${\displaystyle \textstyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$, der einer integrierbaren Funktion eine reelle Zahl zuordnet, ist linear.

• Jedes lineare Funktional auf einem Vektorraum ist ein linearer Operator.

Antilinearer Operator

• Ist ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ ein komplexer Hilbertraum und ${\displaystyle H\,'}$ sein Dualraum, so gibt es nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz zu jedem ${\displaystyle f\in H\,'}$ genau ein ${\displaystyle y_{f}\in H}$, so dass ${\displaystyle f(x)=\langle x,y_{f}\rangle _{H}}$ für alle ${\displaystyle x\in H}$ gilt. Die Abbildung ${\displaystyle H\,'\rightarrow H,f\mapsto y_{f}}$ ist antilinear. Diese liegt darin begründet, dass ein komplexes Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ in der zweiten Variablen antilinear ist.

Definitionen

Seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei normierte Vektorräume und ${\displaystyle A\colon V\to W}$ ein linearer Operator. Die Operatornorm von ${\displaystyle A}$ ist definiert durch

${\displaystyle \|A\|:=\inf\{M\geq 0,\;\|Ax\|_{W}\leq M\|x\|_{V}{\text{ für alle }}x\in V\}}$,

wobei für diese Konstante

${\displaystyle \|A\|=\sup _{x\in V,\;x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{W}}{\|x\|_{V}}}=\sup _{\|x\|_{V}\leq 1}\|Ax\|_{W}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|Ax\|_{W}}$

gilt. Ist die Operatornorm endlich, so heißt der Operator beschränkt, andernfalls unbeschränkt.

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren vom normierten Raum ${\displaystyle V}$ in den normierten Raum ${\displaystyle W}$ nennt man ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(V,W)}$. Mit der Operatornorm ist dieser selbst ein normierter Vektorraum. Falls ${\displaystyle W}$ vollständig ist, ist er sogar ein Banachraum. Falls ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle W}$ identisch ist, wird auch abkürzend ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(V)}$ geschrieben. Die beschränkten linearen Operatoren lassen sich wie folgt charakterisieren:

Ist ${\displaystyle T}$ ein linearer Operator von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle T}$ ist beschränkt, d. h. in ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(V,W)}$ enthalten.
2. ${\displaystyle T}$ ist gleichmäßig stetig auf ${\displaystyle V}$.
3. ${\displaystyle T}$ ist stetig in jedem Punkt von ${\displaystyle V}$.
4. ${\displaystyle T}$ ist stetig in einem Punkt von ${\displaystyle V}$.
5. ${\displaystyle T}$ ist stetig in ${\displaystyle 0\in V}$.

Beispiele beschränkter linearer Operatoren

• ${\displaystyle I_{V}\in {\mathfrak {L}}(V)}$ mit ${\displaystyle \|I_{V}\|=1}$, wobei ${\displaystyle I_{V}}$ der identische Operator auf ${\displaystyle V}$ ist.

• ${\displaystyle P\in {\mathfrak {L}}(H)}$ mit ${\displaystyle \|P\|=1}$, wobei ${\displaystyle P\neq 0}$ eine orthogonale Projektion auf dem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist.

• ${\displaystyle (n_{k})\in {\mathfrak {L}}(l_{p})}$ mit ${\displaystyle \textstyle \|(n_{k})\|=\max _{k}|n_{k}|}$, wobei die Folge ${\displaystyle (n_{k})}$ beschränkt ist und als Diagonaloperator auf dem Folgenraum ${\displaystyle l_{p}}$ mit ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ interpretiert wird.

• Der Shiftoperator ${\displaystyle S\in {\mathfrak {L}}(l_{p})}$ ist beschränkt mit ${\displaystyle \|S\|=1}$, wobei ${\displaystyle S((x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )):=(0,x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )}$ auf dem Folgenraum ${\displaystyle l_{p}}$ mit ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ definiert ist.

• Es sei ${\displaystyle K}$ eine kompakte Menge und ${\displaystyle {\mathfrak {C}}(K)}$ der Banachraum der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle K}$ mit der Supremumsnorm. Weiter sei ${\displaystyle f\in {\mathfrak {C}}(K)}$ und der lineare Operator ${\displaystyle T_{f}\colon {\mathfrak {C}}(K)\rightarrow {\mathfrak {C}}(K)}$ ist definiert durch ${\displaystyle T_{f}(g)(k):=(fg)(k)}$ für ${\displaystyle k\in K}$. Dann ist ${\displaystyle T_{f}\in {\mathfrak {L}}({\mathfrak {C}}(K))}$ und ${\displaystyle \|T_{f}\|=\|f\|_{\infty }}$.

• Es sei ${\displaystyle \lbrack X,{\mathfrak {B}},\mu \rbrack }$ ein Maßraum und ${\displaystyle L_{p}=L_{p}(X,{\mathfrak {B}},\mu )}$ der L^p-Raum der Äquivalenzklassen der in ${\displaystyle p}$-ter Potenz integrierbaren messbaren Funktionen auf ${\displaystyle X}$ mit der L^p-Norm für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Weiter sei ${\displaystyle f\in L_{\infty }}$ und der lineare Operator ${\displaystyle T_{f}\colon L_{p}\to L_{p}}$ definiert durch ${\displaystyle T_{f}(g)(x):=(fg)(x)}$ für ${\displaystyle x\in X}$. Dann ist ${\displaystyle T_{f}\in {\mathfrak {L}}(L_{p})}$ und ${\displaystyle \|T_{f}\|=\|f\|_{\infty }}$.

Anwendungen

• Spektraltheorie
• Funktionalkalkül, d. h. für eine beschränkte, reelle bzw. komplexwertige messbare Funktion ${\displaystyle f}$ und einen beschränkten linearen Operator ${\displaystyle T}$ kann ${\displaystyle f(T)}$ definiert werden.

Beispiel

Betrachte den Differentialoperator ${\displaystyle Af:=f'\,}$ auf dem Banachraum ${\displaystyle C[a,b]}$ der stetigen Funktionen auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Wählt man als Definitionsbereich ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ die einmal stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A):=C^{1}[a,b]}$, dann ist ${\displaystyle A}$ ein abgeschlossener Operator, der nicht beschränkt ist.

Anwendungen

• Differential- und Multiplikationsoperatoren sind i. A. unbeschränkt.

• Die Darstellung von Observablen der Quantenmechanik erfordert unbeschränkte lineare Operatoren, da die den Observablen zugeordneten Operatoren i. A. unbeschränkt sind.

Normtopologie

${\displaystyle T_{i}}$ konvergiert in der Normtopologie gegen ${\displaystyle T}$ genau dann, wenn:

${\displaystyle \lim _{i}\|T-T_{i}\|=0}$

Die Normtopologie ist die Topologie, die durch die offenen Kugeln erzeugt wird.

Starke Operatortopologie

${\displaystyle T_{i}}$ konvergiert in der starken Operatortopologie (kurz stop) gegen ${\displaystyle T}$ genau dann, wenn es punktweise konvergiert:

${\displaystyle \lim _{i}T_{i}x=Tx\quad \forall x\in E}$

oder anders ausgedrückt:

${\displaystyle 0=\lim _{i}\|T_{i}x-Tx\|=\lim _{i}\|(T_{i}-T)x\|\quad \forall x\in E}$

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Abbildungen

${\displaystyle \left\lbrace \left.{\begin{matrix}L(E,F)&\to &F\\T&\mapsto &Tx\end{matrix}}\,\right|\,x\in E\right\rbrace }$

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Abbildungen stetig sind. ${\displaystyle L(E,F)}$ mit der starken Operatortopologie ist also ein lokalkonvexer Raum.

Alternativ ausgedrückt: Die starke Operatortopologie ist die Produkttopologie aller Funktionen von ${\displaystyle E}$ nach ${\displaystyle F}$, eingeschränkt auf die (evtl. beschränkten) linearen Operatoren.

Schwache Operatortopologie

${\displaystyle T_{i}}$ konvergiert in der schwachen Operatortopologie gegen ${\displaystyle T}$ genau dann, wenn

${\displaystyle \lim _{i}\varphi (T_{i}x)=\varphi (Tx)\quad \forall x\in E,\varphi \in F^{*}}$

oder anders ausgedrückt:

${\displaystyle \lim _{i}|\varphi (T_{i}x-Tx)|=0\quad \forall x\in E,\varphi \in F^{*}}$

(Hierbei bezeichnet ${\displaystyle F^{*}}$ den stetigen Dualraum von F)

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Funktionalen

${\displaystyle \left\lbrace \left.{\begin{matrix}L(E,F)&\to &\mathbb {C} \\T&\mapsto &\varphi (Tx)\end{matrix}}\,\right|x\in E,\varphi \in F^{*}\right\rbrace }$

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Funktionale stetig sind. ${\displaystyle L(E,F)}$ mit der schwachen Operatortopologie ist also ebenfalls ein lokalkonvexer Raum.

Lehrbücher

• Hans Wilhelm Alt: Linear Functional Analysis (= Universitext). Springer London, London 2016, ISBN 978-1-4471-7279-6, doi:10.1007/978-1-4471-7280-2 (englisch). 
• Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus: Moderne mathematische Methoden der Physik – Band 1 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88543-6, doi:10.1007/978-3-540-88544-3. 
• Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus: Moderne mathematische Methoden der Physik – Band 2 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-05184-5, doi:10.1007/978-3-642-05185-2. 

Monografien

• Konrad Schmüdgen: Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space (= Graduate Texts in Mathematics. Band 265). Springer Netherlands, Dordrecht 2012, ISBN 978-94-007-4752-4, doi:10.1007/978-94-007-4753-1. 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser Boston, Boston, MA 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6, doi:10.1007/978-0-8176-4596-0. 
• Nelson Dunford, Jacob T. Schwartz: Linear Operators 1 – General theory (= Wiley Classics Library). Wiley Interscience Publishers, New York 1988, ISBN 978-0-471-60848-6 (englisch, archive.org). 
• Nelson Dunford, Jacob T. Schwartz: Linear Operators 2 – Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space (= Wiley Classics Library). Wiley Interscience Publishers, New York 1988, ISBN 978-0-471-60847-9 (englisch, archive.org). 
• Nelson Dunford, Jacob T. Schwartz: Linear Operators 3 – Spectral Operators (= Wiley Classics Library). Wiley Interscience Publishers, New York 1988, ISBN 978-0-471-60846-2 (englisch, archive.org). 
• N.I. Achieser, I.M. Glasmann: Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum. 6. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1975. 
• Gilbert Helmberg: Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space. Hrsg.: H. A. Lauwerier, W. T. Koiter (= Applied Mathematics and Mechanics. Band 6). North-Holland Publishing Company, London 1969 (englisch, elsevier.com). 

Weitere Fachbücher zur Theorie der Operatoren siehe auch Graduate Texts in Mathematics.