Lipschitz-Gebiet

In der Mathematik ist ein Lipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mit Lipschitz-Rand genannt – ein Gebiet im euklidischen Raum, dessen Rand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal der Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.

Die hier beschriebenen Gebiete werden auch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.

Definition

Ein Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls zugleich positive Zahlen ${\displaystyle \delta }$ und ${\displaystyle M}$ und eine lokal endliche Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})_{i}}$ des Randes ${\displaystyle \partial \Omega }$ existieren, so dass für jedes ${\displaystyle U_{i}}$ eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f_{i}}$ von ${\displaystyle n-1}$ Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:

1. Für eine Zahl ${\displaystyle R}$ hat jede Teilfamilie von ${\displaystyle (U_{i})_{i}}$ mit ${\displaystyle R+1}$ Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge.

2. Für jedes Paar an Punkten ${\displaystyle x,y\in \Omega _{\delta }:=\{a\in \Omega$ :\operatorname {dist} (a,\partial \Omega )<\delta \}} mit ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ existiert ein ${\displaystyle i}$, so dass

${\displaystyle x,y\in V:=\{a\in U_{i}:\operatorname {dist} (a,\partial U_{i})>\delta \}}$

gilt.

3. Jede Funktion ${\displaystyle f_{i}}$ erfüllt eine Lipschitz-Bedingung

${\displaystyle |f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})-f_{i}(\nu _{i,1},\ldots ,\nu _{i,n-1})|<M|\xi _{i,1}-\nu _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1}-\nu _{i,n-1}|}$

mit der Lipschitz-Konstanten ${\displaystyle M}$.

4. Für ein kartesisches Koordinatensystem ${\displaystyle (\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})}$ in ${\displaystyle U_{j}}$ ist die Menge ${\displaystyle \Omega \cap U_{i}}$ beschrieben durch

${\displaystyle \xi _{i,n}<f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})}$.

Beschränkte Lipschitz-Gebiete

Falls ${\displaystyle \Omega }$ ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$ eine Umgebung ${\displaystyle U_{i}}$ existiert, so dass die Menge ${\displaystyle \partial \Omega \cap U_{i}}$ der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.

Eigenschaften

• Jedes ${\displaystyle C^{k}}$-Gebiet mit ${\displaystyle k\geq 1}$ ist auch ein Lipschitz-Gebiet.
• Nach dem Satz von Rademacher können an einem Lipschitz-Rand fast überall Tangentialvektoren gefunden werden.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Die offene Kreisfläche ist ein ${\displaystyle C^{\infty }}$-Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.
• Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein ${\displaystyle C^{1}}$-Gebiet.
• Das beschränkte Gebiet

${\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq y\leq x^{2},0\leq x\leq 1\}}$

ist kein Lipschitz-Gebiet, da der Rand des Gebietes in einer Umgebung von ${\displaystyle (0,0)}$ nicht als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion dargestellt werden kann.

• Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche

${\displaystyle \Omega$ :=\{x\in \mathbb {R} ^{d}:|x-x_{0}|<R,x\neq x_{0}+\lambda e_{1}\ {\text{for}}\ 0\leq \lambda <R\}} ,

wobei ${\displaystyle e_{1}}$ ein Basisvektor der kanonischen Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.

Theorie partieller Differentialgleichungen

In der Theorie der Sobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten des Einbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen und Variationsproblemen untersucht werden.

Einzelnachweise

1. ↑ R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 66. 
2. 1 2 R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 67. 
3. ↑ Giovanni Leoni: A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. 2. Auflage. American Mathematical Society, Pittsburgh 2017, ISBN 978-1-4704-2921-8, S. 274. 
4. 1 2 3 Peter Knabner, Lutz Angerman: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 978-1-4419-3004-0, S. 96.