Liste stochastischer Prozesse

Nachfolgend finden sich eine Übersicht und kategoriale Einordnung stochastischer Prozesse sowie die stochastischen Differentialgleichungen (SDGL) der Prozesse und deren Lösungen.

Markow-Prozesse

Markow-Prozesse erfüllen die Markow-Eigenschaft. Zu den Markow-Prozessen zählen u. a. die affinen Prozesse und die Itō-Prozesse.

Affine Prozesse

Zu den affinen Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse (also auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess), außerdem einige Itō-Prozesse wie z. B. der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wurzel-Diffusionsprozess.

Lévy-Prozesse

Lévy-Prozesse sind Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. Zu den Lévy-Prozessen zählen u. a. die Poisson-Prozesse.

Gamma-Prozess

Der Gamma-Prozess $Γ (t; γ, λ)$ ist ein reiner Sprung-Lévy-Prozess mit Intensitätsmaß $ν (x) = γ x^{- 1} \exp (- λ x)$

Varianz-Gamma-Prozess

$X (t; θ, σ, ν) = B (Γ (t; 1, ν), θ, σ), t \geq 0.$

Poisson-Prozesse

Zusammengesetzter Poisson-Prozess

X_{t} := \sum_{n = 1}^{N_{t}} Y_{n}

Inhomogener Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeitabhängig $λ (t) .$

Räumlicher Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeit- und (Vektor-)raumabhängig $λ (t, x) .$

Cox-Prozess

Die Intensität ist eine Zufallsvariable.

Itō-Prozesse

Itō-Prozess

X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} u (s, X_{s}) d s + \int_{0}^{t} v (s, X_{s}) d W_{s} .

SDGL:

d X_{t} = u (t, X_{t}) d t + v (t, X_{t}) d W_{t} .

Verallgemeinerter Wiener-Prozess / verallgemeinerte Brownsche Bewegung

Der verallgemeinerte Wiener-Prozess ist sowohl Gauß- als auch Itō-Prozess.

$X_{t} = \int_{0}^{t} f (s) d s + \int_{0}^{t} g (s) d W_{s}$

SDGL:

d X_{t} = f (t) d t + g (t) d W_{t}

Einfache Form:

X_{t} = μ t + σ W_{t}

SDGL:

d X_{t} = μ d t + σ d W_{t}

Standard-Wiener-Prozess / Standard-Brownsche Bewegung

X_{t} = W_{t} = \int_{0}^{t} d W_{s}

SDGL:

d X_{t} = d W_{t}

Weitere Itō-Prozesse

Geometrische Brownsche Bewegung

X_{t} = X_{0} e^{(μ - \frac{σ^{2}}{2}) t + σ W_{t}}

SDGL:

d X_{t} = μ X_{t} d t + σ X_{t} d W_{t}

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

SDGL:

d X_{t} = θ (μ - X_{t}) d t + σ d W_{t}, X_{0} = a

Wurzel-Diffusionsprozess / CIR-Prozess

SDGL:

d X_{t} = κ (θ - X_{t}) d t + σ \sqrt{X_{t}} d W_{t}

Bessel-Prozess

X_{t} = ‖ W_{t} ‖_{2},

SDGL:

d X_{t} = d W_{t} + \frac{n - 1}{2} \frac{d t}{X_{t}}

Gauß-Prozesse

$(X_{t})_{t \in T}$ ist ein Gauß-Prozess, falls für alle $n \in ℕ$ gilt: $\forall t_{1}, t_{2} \dots t_{n} \in T$ ist $(X_{t_{1}}, X_{t_{2}} \dots X_{t_{n}})$ durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben.

Zu den Gauß-Prozessen zählen u. a. die Gauß-Itō-Prozesse (z. B. der Wiener-Prozess), der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, die Brownsche Brücke und die fraktionelle Brownsche Bewegung.

Gauß-Markow-Prozesse

Gauß-Markow-Prozesse besitzen sowohl die Markow-Eigenschaft als auch die Eigenschaft von Gauß-Prozessen.

Brownsche Brücke

Die Brownsche Brücke ist ein Gauß-Markow-Prozess, d. h. ein Gauß-Prozess mit der Markow-Eigenschaft.

B_{t} := (W_{t} | W_{T} = 0), t \in [0, T]

Feller-Prozesse

Ein Feller-Prozess ist ein Markow-Prozess mit der Feller-Übergangsfunktion, die zu einer Feller-Halbgruppe gehört. Zu den Feller-Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse, der Bessel-Prozess und die Lösungen von SDGL mit Lipschitz-stetigen Koeffizienten.