Lokale Messbarkeit

In der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, ist lokale Messbarkeit eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

Definition

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle (S,{\mathcal {B}})}$ ein Messraum. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to S}$ heißt lokal messbar, falls für jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$ die Abbildung ${\displaystyle f|_{A}\colon (A,{\mathcal {A}}\cap A)\to (S,{\mathcal {B}})}$ messbar ist, d. h. falls für jedes ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ stets ${\displaystyle f^{-1}(B)\cap A\in {\mathcal {A}}}$ ist.

Eigenschaften

• Jede messbare Funktion ist auch lokal messbar.
• Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein σ-endlicher Maßraum, so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.

Literatur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.