Extremwert

Definitionen

Es sei ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ eine Teilmenge der reellen Zahlen (z. B. ein Intervall) und ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ eine Funktion.

${\displaystyle f}$ hat an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in D}$

• ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle D}$ gibt, so dass ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$ gilt;
• ein globales Minimum, wenn ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$ gilt;
• ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle D}$ gibt, so dass ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$ gilt;
• ein globales Maximum, wenn ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$ gilt.

Gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x_{0}}$, in der für alle ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ sogar die strenge Ungleichung ${\displaystyle f(x_{0})<f(x)}$ (bzw. ${\displaystyle f(x_{0})>f(x)}$) gilt, so spricht man von einem strengen oder isolierten lokalen Minimum (bzw. strengen lokalen Maximum). Entsprechend sind die Begriffe strenges globales Minimum bzw. strenges globales Maximum definiert.

Besitzt die Funktion an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ ein strenges lokales Maximum, so nennt man den Punkt ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ Hochpunkt, hat sie dort ein strenges lokales Minimum, so heißt der Punkt Tiefpunkt. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man allgemein von einem Extrempunkt.

Beispiel

Betrachtet wird die Betragsfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=|x|}$. Es gilt ${\displaystyle |0|=0}$ und ${\displaystyle |x|>0}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$, also ${\displaystyle f(0)<f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\neq 0}$. Folglich hat ${\displaystyle f}$ ein striktes globales Minimum bei ${\displaystyle x_{0}=0}$. Der zugehörige Tiefpunkt hat die Koordinaten ${\displaystyle (0,0)}$, befindet sich also im Koordinatenursprung. Die Betragsfunktion ${\displaystyle f}$ hat weder lokale noch globale Maxima, denn für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle 0\leq x<y}$ oder ${\displaystyle y<x\leq 0}$ gilt ${\displaystyle |x|<|y|}$; somit gibt es in jeder Umgebung eines beliebigen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ eine Stelle ${\displaystyle y}$ mit ${\displaystyle f(x)<f(y)}$, d. h. einen noch größeren Funktionswert.

Einfache Folgerungen aus den Definitionen

Jedes strikte lokale Minimum (bzw. Maximum) ist insbesondere ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Eine analoge Aussage gilt für strikte globale Minima bzw. Maxima. Dies folgt aus der Implikation ${\displaystyle f(x_{0})<f(x)\Rightarrow f(x_{0})\leq f(x)}$ bzw. ${\displaystyle f(x_{0})>f(x)\Rightarrow f(x_{0})\geq f(x)}$.

Jedes globale Minimum (bzw. Maximum) ist zugleich ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Eine entsprechende Aussage gilt für strikte globale Minima bzw. Maxima. Dies folgt daraus, dass eine Aussage, die für alle Elemente einer Grundmenge gilt, erst recht für eine Teilmenge der Grundmenge gilt.

Existenz von globalen Extrema

Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall nimmt ein globales Maximum und ein globales Minimum an. Dieser Satz vom Minimum und Maximum folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach Karl Weierstraß oder Bernard Bolzano benannt. Es handelt sich um eine reine Existenzaussage, die keine Informationen darüber liefert, wie die Extrema ggf. aufgefunden werden können.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema

Ist ${\displaystyle f}$ monoton fallend (bzw. steigend) auf einem Intervall ${\displaystyle (\alpha ,x_{0}]}$ und monoton steigend (bzw. fallend) auf ${\displaystyle [x_{0},\beta )}$, so hat ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Im Falle von strenger Monotonie folgt, dass ${\displaystyle x_{0}}$ ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum ist.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So hat etwa die Funktion, die durch ${\displaystyle f(x)=x^{2}\left(1+\sin(1/x)\right)}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle f(0)=0}$ definiert ist, ein lokales Minimum bei ${\displaystyle x_{0}=0}$, ohne dass sie links von ${\displaystyle x_{0}}$ monoton fallend und rechts von ${\displaystyle x_{0}}$ steigend ist.

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Ist ${\displaystyle f}$ eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$, so lässt sie sich mithilfe der Differentialrechnung auf Extremstellen untersuchen.

Beispiele

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}+3.}$ Die erste Ableitung ${\displaystyle f'(x)=2x}$ hat nur bei ${\displaystyle x_{0}=0}$ eine Nullstelle. Die zweite Ableitung ${\displaystyle f''(x)=2}$ ist dort positiv, also nimmt ${\displaystyle f}$ bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich ${\displaystyle f(0)=3}$.

• ${\displaystyle f(x)=x^{4}+3.}$ Die erste Ableitung ${\displaystyle f'(x)=4x^{3}}$ hat nur bei ${\displaystyle x_{0}=0}$ eine Nullstelle. Die zweite Ableitung ${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$ ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:
  • Auch die dritte Ableitung ${\displaystyle f'''(x)=24x}$ ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit ${\displaystyle f^{(4)}(x)=24}$ die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
  • Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}=0}$ ein lokales Minimum.
  • Es ist ${\displaystyle f(-1)=f(1)=4>3=f(0)}$, also hat ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle (-1,1)}$ ein lokales Minimum. Da die erste Ableitung in diesem Intervall nur die Nullstelle ${\displaystyle x_{0}=0}$ hat, muss das lokale Minimum dort angenommen werden.

• Die Funktion, die durch ${\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})\cdot \sin ^{2}(1/x^{2})}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle f(0)=0}$ definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:
  • Sie hat bei ${\displaystyle x=0}$ ein globales Minimum.
  • Sie ist beliebig oft differenzierbar.
  • Alle Ableitungen bei ${\displaystyle x=0}$ sind gleich 0.
  • Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.
  • Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.

Anwendungsbeispiel

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

• Wie muss ein Rechteck aussehen, das bei einem gegebenen Umfang einen maximalen Flächeninhalt hat?

Lösungsweg:

Wird die Länge des Rechtecks mit ${\displaystyle a}$ bezeichnet und seine Breite mit ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle a,b>0}$), so lautet die Formel für die zu maximierende Rechtecksfläche ${\displaystyle A=a\cdot b}$ (Zielfunktion). Durch Umstellen der Umfangsformel ${\displaystyle U=2(a+b)}$ erhält man ${\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}$. Einsetzen in die Flächenformel eliminiert die Variable ${\displaystyle b}$ in der Zielfunktion:

${\displaystyle A(a)=-a^{2}+{\frac {1}{2}}Ua}$.

Die notwendige Bedingung liefert Kandidaten für ein lokales Maximum. Dazu bildet man die erste Ableitung

${\displaystyle A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U}$

und setzt sie gleich null:

${\displaystyle -2a+{\frac {1}{2}}U=0}$.

Hieraus erhält man durch elementare Umformungen als einzigen Kandidaten ${\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}$.

Die zweite Ableitung lautet

${\displaystyle A''(a)=-2}$.

Sie ist für jedes ${\displaystyle a}$ negativ, also insbesondere für ${\textstyle a_{0}={\frac {1}{4}}U}$. Somit liegt dort ein lokales Maximum vor, das zugleich das globale Maximum ist (da ${\displaystyle a_{0}}$ der einzige Kandidat für ein lokales Maximum ist). Durch Einsetzen der Maximalstelle in ${\textstyle b={\frac {1}{2}}U-a}$ erhält man auch ${\textstyle b_{0}={\frac {1}{4}}U}$. Also ist der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht). Umgekehrt lässt sich aber auch sagen, dass ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang aufweist, wenn seine Länge und sein Höhe im Verhältnis ${\displaystyle 1:1}$ zueinander stehen, d. h. wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Definitionen

Ist ${\displaystyle f}$ eine Funktion, die von einer Teilmenge ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ abbildet, so werden die Begriffe des Minimums und des Maximums völlig analog zum eindimensionalen Fall definiert:

${\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ hat bei ${\displaystyle x_{0}\in D}$

• ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle D}$ gibt, so dass ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ (bzw. ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$) für alle ${\displaystyle x\in U}$;
• ein globales Minimum (bzw. globales Maximum), wenn ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ (bzw. ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$) für alle ${\displaystyle x\in D}$.

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Analog zum eindimensionalen Fall ist bei einer (total) differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ das Verschwinden des Gradienten, d. h. aller partiellen Ableitungen von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{i}}$-Richtungen, eine notwendige Bedingung dafür, dass ${\displaystyle f}$ in einem Punkt ${\displaystyle x}$ im Inneren von ${\displaystyle U}$ ein lokales Extremum annimmt. Hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ ein lokales Extremum, so muss also gelten:

${\displaystyle \operatorname {grad} f(x_{0})=0}$.

Ist ${\displaystyle f}$ zweimal stetig differenzierbar, so ist in diesem Fall die Definitheit der Hesse-Matrix ${\displaystyle D^{2}f(x)}$ hinreichend: Ist sie positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit, handelt es sich um ein lokales Maximum; ist sie indefinit, liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor. Wenn sie nur semidefinit ist, ist keine Entscheidung anhand der Hesse-Matrix möglich (siehe peanosche Fläche).

Definition

Der Begriff des Maximums und des Minimums überträgt sich direkt auf den unendlichdimensionalen Fall. Ist ${\displaystyle X}$ ein Vektorraum und ${\displaystyle D\subset X}$ eine Teilmenge dieses Vektorraumes sowie ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ ein Funktional, so hat ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle {\tilde {x}}\in D}$

• ein (globales) Minimum, wenn ${\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$,
• ein (globales) Maximum, wenn ${\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$.

Der Zusatz „global“ wird meist weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist. Ist ${\displaystyle X}$ zusätzlich mit einer Topologie versehen, also ein topologischer Raum, dann hat ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle {\tilde {x}}\in D}$

• ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U\cap D}$ gilt,
• ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U\cap D}$ gilt.

Ein Punkt heißt ein (lokales) Extremum, wenn er ein (lokales) Minimum oder ein (lokales) Maximum ist. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

Existenz, Eindeutigkeit und Geometrie von Extrema

Diskrete Optimierung

Bei diskreten Optimierungsproblemen ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ wird daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion ${\displaystyle N}$, die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

${\displaystyle N\colon D\to {\mathcal {P}}(D);}$

dabei steht ${\displaystyle {\mathcal {P}}(D)}$ für die Potenzmenge von ${\displaystyle D}$.

${\displaystyle f}$ hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt ${\displaystyle x_{0}\in D}$, wenn ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$ für alle Nachbarn ${\displaystyle x\in N(x_{0})}$ gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Variationsrechnung

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, z. B. die Kontur eines Regentropfens mit minimalem Luftwiderstand, sind Gegenstand der Variationsrechnung.