Die Mandelknolle (englisch Mandelbulb) ist ein dreidimensionales Fraktal. Es wurde 2009 von Daniel White und Paul Nylander konstruiert. Dazu wurde eine herkömmliche Mandelbrotmenge einer sphärischen Koordinatentransformation unterzogen.
Die Mandelknolle (englisch Mandelbulb) ist ein dreidimensionales Fraktal. Es wurde 2009 von Daniel White und Paul Nylander konstruiert. Dazu wurde eine herkömmliche Mandelbrotmenge einer sphärischen Koordinatentransformation unterzogen.
Eine dreidimensionale Mandelbrot-Menge in Normalenform existiert so nicht, denn es gibt kein dreidimensionales Analogon der komplexen Ebene (sondern nur höherdimensionale Zahlensysteme wie Quaternionen oder Dimensionen mit anderen hyperkomplexen Zahlen).
Whites und Nylanders Formel für die n-te Potenz des Vektors in einem kartesischen Koordinatensystem () lautet
unter Verwendung der Kugelkoordinaten mit
Mit der arctan2-Funktion wird das Argument der komplexen Zahl berechnet.
Die Mandelknolle ist sodann definiert als die Menge der Werte , für die der Orbit von unter der Iteration beschränkt ist. Für n > 3 ergibt sich eine dreidimensionale, birnenähnliche Struktur mit fraktalen Oberflächendetails und eine Anzahl an „Lappen“ abhängig von n. Viele Graphikrenderings nutzen für n den Wert 8. Die Gleichungen können in rationale Polynome vereinfacht werden, wenn n ungerade ist. Für den Fall n = 3 kann die Abbildung in die folgende, vereinfachte Form umgeformt werden:
Allgemeiner kann man entsprechende Fraktale (neben n auch von p und q abhängend) für die Abbildung
konstruieren, wobei p und q nicht gleich n sein müssen, um zu erfüllen. Noch allgemeinere Fraktale können mit der Iteration
gefunden werden.
Durch gewisse Transformationen der Mandelknolle lässt sich eine Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge erahnen. Wenn man im Fall n = 2 das Fraktal in der Mitte durchschneidet, erkennt man die klassische Mandelbrot-Menge.
Die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelbrot-Menge entspricht einer idealen Kreisfläche. Analog dazu ist die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelknolle eine ideale Kugel. Diese Julia-Mengen unterscheiden sich hier also nur in der Anzahl der Dimensionen voneinander.
Die folgende Galerie zeigt verschiedene Ansichten und Besonderheiten der Mandelknolle, teils auch als Animation:
