Wetzel erlernte zunächst den Beruf des Ofensetzers und arbeitete bis 1952 als Modelleur. Von 1952 bis 1958 studierte er bei Gustav Weidanz, dessen letzter Schüler er war, an der Kunsthochschule Burg Giebichenstein. Ab 1959 war er dort in der Lehre tätig, ab 1974 als Leiter des Fachbereichs Keramik und 1975 bis 1994 als Professor. Zu seinen Schülerinnen und Schülern gehörten u. a. Roland Möller, Judith Püschel, Renée Reichenbach, Christoph Schulz und Ursula Zänker.
In Halle (Saale) wurden über zehn von Wetzel geschaffene Kunstwerke aufgestellt. Zumeist handelt es sich um Bronze-Plastiken und Bronze-Reliefs. 1994 wurde das Bodenreformdenkmal in Merseburg (West) abgerissen. Opfer von Vandalismus wurden Vater und Sohn (2007) und das Liebespaar (2007) in Halle (Saale). Beide Plastiken wurden 2009 wieder aufgestellt. Die meisten seiner Werke stehen in Halle, Rostock, Dessau und Chemnitz. In Erfurt befinden sich die Skulpturen Lesender, Kaffeetrinkerin, Flora und Schwimmerinnen.
Wetzel war bis 1990 Mitglied des Verbands Bildender Künstler der DDR und hatte in der DDR eine bedeutende Zahl von Einzelausstellungen und Ausstellungsbeteiligungen, u. a. von 1962 bis 1988 an allen sechs Deutschen Kunstausstellungen bzw. Kunstausstellungen der DDR in Dresden.
Schultze-Gallera-Gedenktafel Halle-GranauLesender in Merseburg
Sitzender Mann (1963, Bronze; Höhe 1,80 cm; Guss in der Werkstatt der Kunsthochschule; Halle, Am Weinberg, Grünfläche vor dem Haupteingang des Instituts für Biochemie der Pflanzen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin)
Knaben mit Tauben (1964, Bronze, Höhe 1,50 m; Guss in Lauchhammer; Halle-Süd, Murmansker Straße, damalige Oberschule)
Junge Familie (1965, Bronze, Höhe: 2,40 m; Schwedt, VEB Erdölverarbeitungswerk, gegenüber dem Speisesaal; Guss in Lauchhammer)
Bildkünstlerische Gestaltung einer Brunnenanlage (1965; Becken: Mosaik; Plastik: Taubengruppe, Bronze, Guss in Lauchhammer; Wolfen-Nord, Innenhof der damaligen Oberschule)
Einzelausstellungen seit der deutschen Wiedervereinigung (mutmaßlich unvollständig)
Wetzel, Martin. In: Hans Vollmer (Hrsg.): Allgemeines Lexikon der bildenden Künstler des XX. Jahrhunderts.Band6, Nachträge H–Z. E. A. Seemann, Leipzig 1962, S.475 (Textarchiv– Internet Archive– Leseprobe).
Wolfgang Hütt: Der Weg eines jungen Bildhauers. Zu den Arbeiten des Hallenser Bildhauers Martin Wetzel. In: Bildende Kunst, Berlin, 1965, S. 28–32
Ingrid Schulz: Der hallesche Bildhauer Martin Wetzel. In: Bildende Kunst, Berlin, 1974, S. 69–73
Allmuth Schuttwolf: Hallesche Plastik im 20. Jahrhundert. Dissertation. Halle 1981.
↑Erika Neumann (Bearbeitung): Bildende Kunst + Architektur. Katalog Teil 2 Halle/Leipzig. Deutsche Bauakademie, Berlin, 1969, S. 39/31
↑Erika Neumann (Bearbeitung): Bildende Kunst + Architektur. Katalog Teil 2 Halle/Leipzig. Deutsche Bauakademie, Berlin, 1969, S. 103
↑Ruth Pape et al. (Bearbeitung): Bildende Kunst + Architektur. Katalog Teil 5 Dresden, Cottbus, Frankfurt. Deutsche Bauakademie, Berlin, 1973, S. 196/197
↑Erika Neumann (Bearbeitung): Bildende Kunst + Architektur. Katalog Teil 2 Halle/Leipzig. Deutsche Bauakademie, Berlin, 1969, S. 100–102