Maximaler Torus

In der Mathematik ist ein maximaler Torus einer kompakten Lie-Gruppe $G$ eine maximale kompakte, zusammenhängende, abelsche Untergruppe $T$ .

Er ist ein $r$ -Torus, seine Dimension $r$ ist per Definition der Rang der kompakten Lie-Gruppe $G$ .

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element $g \in G$ zu einem Element aus $T$ konjugiert ist.

Beispiele

Für $G = U (n)$ ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen $T = {diag (e^{i θ_{1}}, \dots, e^{i θ_{n}}) : θ_{1}, \dots, θ_{n} \in ℝ}$ ein maximaler Torus.

Für $G = S O (2 n)$ ist die Untergruppe aller Blockdiagonalmatrizen mit 2×2-Blöcken aus $S O (2)$ ein maximaler Torus.

Eigenschaften

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element $g \in G$ zu einem Element aus $T$ konjugiert ist.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen:

Alle maximalen Tori sind konjugiert zueinander.
Alle maximalen Tori haben dieselbe Dimension, den Rang von $G$ .
Ein maximaler Torus ist eine maximale abelsche Untergruppe.
Die maximalen Tori sind die Bilder maximaler abelscher Unteralgebren unter der Exponentialabbildung $\exp : 𝔤 \to G$ .
Jedes Element $g \in G$ liegt in einem maximalen Torus.
Die Differenz aus der Dimension und dem Rang von $G$ ist eine gerade Zahl.

Literatur

T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98 (2nd ed.), Springer, 1995, ISBN 3540136789
J. F.Adams: Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, 1969, ISBN 0226005305
N. Bourbaki: Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, 1982, ISBN 354034392X
J. Dieudonné: Treatise on analysis 5 (Chapter XXI), Academic Press, 1977, ISBN 012215505X
J. Duistermaat, A. Kolk: Lie groups, Universitext, Springer, 2002, ISBN 3540152938
B. Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, 1977, ISBN 0821828487

Weblinks

Maximal Torus (Encyclopedia of Mathematics)
Maximal Torus (nLab)
Maximal Tori Theorem (MathWorld)