Maximaler Torus

In der Mathematik ist ein maximaler Torus einer kompakten Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ eine maximale kompakte, zusammenhängende, abelsche Untergruppe ${\displaystyle T}$.

Er ist ein ${\displaystyle r}$-Torus, seine Dimension ${\displaystyle r}$ ist per Definition der Rang der kompakten Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$.

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ zu einem Element aus ${\displaystyle T}$ konjugiert ist.

Beispiele

Für ${\displaystyle G=U(n)}$ ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen ${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}):\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}}$ ein maximaler Torus.

Für ${\displaystyle G=SO(2n)}$ ist die Untergruppe aller Blockdiagonalmatrizen mit 2×2-Blöcken aus ${\displaystyle SO(2)}$ ein maximaler Torus.

Eigenschaften

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ zu einem Element aus ${\displaystyle T}$ konjugiert ist.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen:

• Alle maximalen Tori sind konjugiert zueinander.
• Alle maximalen Tori haben dieselbe Dimension, den Rang von ${\displaystyle G}$.
• Ein maximaler Torus ist eine maximale abelsche Untergruppe.
• Die maximalen Tori sind die Bilder maximaler abelscher Unteralgebren unter der Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$.
• Jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ liegt in einem maximalen Torus.
• Die Differenz aus der Dimension und dem Rang von ${\displaystyle G}$ ist eine gerade Zahl.

Literatur

• T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98 (2nd ed.), Springer, 1995, ISBN 3540136789
• J. F.Adams: Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, 1969, ISBN 0226005305
• N. Bourbaki: Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, 1982, ISBN 354034392X
• J. Dieudonné: Treatise on analysis 5 (Chapter XXI), Academic Press, 1977, ISBN 012215505X
• J. Duistermaat, A. Kolk: Lie groups, Universitext, Springer, 2002, ISBN 3540152938
• B. Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
• S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, 1977, ISBN 0821828487

Weblinks

• Maximal Torus (Encyclopedia of Mathematics)
• Maximal Torus (nLab)
• Maximal Tori Theorem (MathWorld)