Magma (Mathematik)

Magma

Ein Magma ist ein Paar ${\displaystyle (M,*),}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle M}$ (der Trägermenge) und einer zweistelligen inneren Verknüpfung

${\displaystyle *\,\colon \,M\times M\rightarrow M.}$

Für ${\displaystyle a*b}$, die Verknüpfung zweier Elemente ${\displaystyle a,b\in M}$, schreibt man auch kurz ${\displaystyle ab}$. Ist die Verknüpfung aus dem Kontext klar, bezeichnet man auch die Menge ${\displaystyle M}$ als Magma.

Die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ kann auch als Trägermenge ${\displaystyle M}$ zugelassen werden; das Paar ${\displaystyle (\emptyset ,\emptyset )}$ ist auf triviale Weise ein Magma.

Ist die Verknüpfung kommutativ, so heißt das Magma kommutativ oder abelsch; ist sie assoziativ, so heißt das Magma assoziativ oder Halbgruppe.

Untermagma

Sei ${\displaystyle (M,*)}$ ein Magma. Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq M}$ heißt Untermagma von ${\displaystyle M}$, wenn ${\displaystyle U}$ abgeschlossen ist bezüglich ${\displaystyle *}$, d. h., es gilt

${\displaystyle a*b\in U}$ für alle ${\displaystyle a,b\in U}$.

Wie der Name suggeriert, wird ${\displaystyle U}$ selbst zum Magma durch die Einschränkung der vererbten Verknüpfung, d. h.

${\displaystyle *|_{U\times U}\colon U\times U\rightarrow U}$.

${\displaystyle M}$ nennt man dann auch Obermagma von ${\displaystyle U}$.

Ein beliebiger Durchschnitt von Untermagmen ist ein Untermagma. Damit bilden Untermagmen ein Hüllensystem:

Jede Teilmenge ${\displaystyle U\subset M}$ eines Magmas ist enthalten in einem kleinsten Untermagma, das ${\displaystyle U}$ enthält. Dieses Untermagma ${\displaystyle \langle U\rangle }$ heißt von ${\displaystyle U}$ erzeugt und ist gegeben durch

${\displaystyle \langle U\rangle =\bigcap _{A\leq M,\,U\subseteq A}A}$,

wobei ${\displaystyle A\leq M}$ die Kurzschreibweise für „${\displaystyle A}$ ist Untermagma von ${\displaystyle M}$“ ist.

Magmen, die keine Halbgruppen sind

Die folgenden Beispiele sind Magmen, die keine Halbgruppen sind:

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$: die ganzen Zahlen mit der Subtraktion
• ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},/)}$: die reellen Zahlen ungleich ${\displaystyle 0}$ mit der Division
• Die natürlichen Zahlen mit der Exponentiation, also mit der Verknüpfung ${\displaystyle a*b=a^{b}}$
• Die reellen Zahlen mit der Bildung des arithmetischen Mittels als Verknüpfung
• Alle Gleitkommadarstellungen (Gleitkommazahl) zu beliebigen Basen, Exponenten- und Mantissenlängen mit der Multiplikation (×) sind echte, unitäre, kommutative Magmen wenn man (der Abgeschlossenheit wegen) die ±∞, ±∞ × 0 und 0 × ±∞ (NaNs) hinzunimmt. So ist die Gleitkommamultiplikation weder assoziativ noch besitzt sie im Allgemeinen ein eindeutiges Inverses, auch wenn beides für einige Fälle tatsächlich gilt.
• Endliche Magmen werden oft mit Verknüpfungstafeln dargestellt, z. B. für das Magma ${\displaystyle A=(\{a,b,c,d\},*)}$:

${\displaystyle *}$	a	b	c	d
a	a	b	c	a
b	c	d	b	c
c	c	a	a	c
d	a	d	d	b

Die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ in diesem Beispiel ist nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel zeigt: ${\displaystyle (b*c)*a\neq b*(c*a)}$.

Beispiele für Pseudo-Magmen

Die folgenden Beispiele sind keine Magmen, da die angegebene Verknüpfung nicht für alle möglichen Werte definiert ist (sie sind also Pseudo-Magmen):

• Die natürlichen Zahlen mit der Subtraktion.
• Die reellen Zahlen mit der Division.
• Alle Gleitkommamultiplikationen ohne NaNs oder ±∞.

Beispiele für Untermagmen

Beispiele für Untermagmen sind

• Für jedes Magma sind das leere und das ganze Magma stets Untermagmen von sich selbst.
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} \setminus \{0\},/)}$ (die rationalen Zahlen ungleich ${\displaystyle 0}$ mit der Division) ist ein Untermagma von ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},/)}$ (siehe oben).
• Das Magma ${\displaystyle B=(\{a,c\},\circ )}$ mit folgender Verknüpfungstafel ist Untermagma des oben genannten Magmas ${\displaystyle A=(\{a,b,c,d\},*)}$:

${\displaystyle \circ }$	a	c
a	a	c
c	c	a

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle A=B}$, so heißt ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ Endomorphismus.
• Ist ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ als Abbildung bijektiv, so ist die Umkehrabbildung automatisch ebenfalls ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt ${\displaystyle f}$ ein Isomorphismus.
• Ein Isomorphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ eines Magma auf sich selbst, also einen Iso- und Endomorphismus, nennt man kurz Automorphismus.

Für alle Magmen gilt:

• Die Identität ${\displaystyle id_{\rm {A}}}$ auf einem Magma ${\displaystyle (A,\star )}$ ist stets ein Endomorphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$, denn ${\displaystyle f(a\star a)=a\star a=f(a)\star f(a)}$.
• Die Verkettung von Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus, denn ${\displaystyle f\circ g(a\star b)=f(g(a\star b))=f(g(a)\circ g(b))=f(g(a))\diamond f(g(b))}$ bei geeigneten Quell- und Zielmagmen.

Also bilden Magmen als Objekte mit den Homomorphismen zwischen ihnen als Morphismen eine Kategorie.

Formale Definition

Möglichst elegant ist eine rigorose Definition des freien Magmas wohl über formale Sprachen möglich. Freie Magmen sind aber nur bis auf Isomorphie eindeutig.

Sei ${\displaystyle X}$ wie gehabt eine beliebige Menge. Betrachte das Alphabet ${\displaystyle \Sigma =X\cup \{\ )\,,\,(\ \}}$ und darüber die Menge aller (endlichen) Wörter ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$, d. h. zum Beispiel ${\displaystyle ((xxx))}$ oder auch ${\displaystyle ((((xx((((}$, jeweils für ein ${\displaystyle x\in X}$.

Die Sprache (also die Teilmenge aller Wörter) ${\displaystyle F_{X}}$ sei durch folgenden Kalkül definiert:

• ${\displaystyle {\frac {}{x}}}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$, d. h. alle Wörter, die nur aus einem Element der Basismenge bestehen sind ableitbar

• ${\displaystyle {\frac {v\quad w}{(vw)}}}$, also ist für ${\displaystyle v,w}$ ableitbare Wörter auch das Wort ${\displaystyle (vw)}$ ableitbar

Die Menge ${\displaystyle F_{X}}$ besteht also aus allen Zeichenfolgen (Wörtern), die durch endliche Anwendung dieser beiden Regeln (Ableitung) erzeugt werden können.

Für die Verknüpfung definieren wir

${\displaystyle v*w:=(vw)\in F_{X}}$ für ${\displaystyle v,w\in F_{X}}$.

${\displaystyle F_{X}}$ ist gerade so definiert, dass es unter dieser Verknüpfung abgeschlossen ist, ${\displaystyle *}$ also wohldefiniert ist.

Da in einem Magma keine weiteren Anforderungen an die Verknüpfung gestellt werden, ist ${\displaystyle (F_{X},*)}$ damit ein Magma. Über die natürliche Inklusion ${\displaystyle X\ni x\mapsto x\in F_{X}}$, indem also das Element der Menge auf das einelementige Wort abgebildet wird, ist ${\displaystyle X\subseteq F_{X}}$.

Da der oben beschriebene Kalkül eindeutig ist, kann man Elementen des freien Magmas auch einen Grad zuordnen:

• ${\displaystyle x,y,z,\ldots \in X}$ haben Grad 1
• ${\displaystyle (xx),(xy),(yy),\ldots }$ haben Grad 2
• ${\displaystyle (x(xx)),((xx),(xx)),((xy)z),\ldots }$ haben Grad 3
• usw.

Jedes Magma, das zu dem hier konstruierten isomorph ist, heißt freies Magma über (oder auf) ${\displaystyle X}$. Man schreibt ${\displaystyle F_{X}}$ oder ${\displaystyle \langle X\rangle }$, bei endlicher Basis ${\displaystyle X=\{\,x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ auch ${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$.

Darstellung durch freie Magmen

Analog zu Gruppen ist auch jedes Magma isomorph zu einem Quotienten eines freien Magmas (Darstellung oder Repräsentierung), aber genauso wenig eindeutig.

Sei ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ein Magma. Ein Weg, dieses Magma darzustellen, ist, indem man auf ${\displaystyle F_{M}}$ (dem freien Magma über ${\displaystyle M}$) eine Äquivalenzrelation erzeugt durch

${\displaystyle (xy)\sim x\cdot y}$.

Auf diese Weise ist die kanonische Inklusion ein Magmaisomorphismus ${\displaystyle M\cong F_{M}/\sim }$.

In den allermeisten Fällen ist diese Darstellung jedoch völlig übertrieben insofern, dass man das freie Magma von einer viel kleineren Menge erzeugen kann. Ist ${\displaystyle M}$ zum Beispiel selbst ein freies Magma, kann man auch ${\displaystyle M\cong M/\sim _{0}}$ wählen, wobei ${\displaystyle \sim _{0}}$ die von der leeren Menge erzeugte Äquivalenzrelation ist.

Dabei ist zu beachten, dass im Gegensatz zu Gruppen die Relation, durch die das freie Magma geteilt wird, eventuell deutlich sperriger aufgeschrieben werden muss. Während zum Beispiel die abelsche freie Gruppe auf zwei Elementen sowohl

${\displaystyle \langle a,b\mid ab=ba\rangle }$ als auch z. B. ${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}=e\rangle }$

heißen kann, ist die zweite Form bei Magmen mangels Inversen und neutralem Element nicht möglich, und es müssten Klammern gesetzt werden, um die Reihenfolge der Operationen zu beschreiben. Es kann also dennoch ratsam sein, ein Magma über eine Verknüpfungstafel o. Ä. anzugeben.