Mengenlehre

Die Mengenlehre (englisch set theory, französisch théorie des ensembles, spanisch teoría de conjuntos) ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, können als Mengen definiert werden. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen.

Geschichte

Definitionen

In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat $\in$ (sprich ist Element von) die einzige notwendige Grundrelation. Alle mengentheoretischen Begriffe und Aussagen werden aus ihr mit logischen Operatoren der Prädikatenlogik definiert.

Aufzählende Notation

Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } zu einem Ganzen, der Menge, zusammengefasst.

Die Menge, welche aus den Elementen

x_{1}

bis

x_{n}

besteht, enthält das Element

a

genau dann, wenn

a

mit einem der

x_{k}

übereinstimmt. Formal:

a \in {x_{1}, \dots, x_{n}} : ⟺ a = x_{1} \lor a = x_{2} \lor \dots \lor a = x_{n}

Z. B. ist die Aussage

a \in {1, 2, 3, 4}

äquivalent zur Aussage

a = 1 \lor a = 2 \lor a = 3 \lor a = 4.

Beschreibende Notation

Die Menge der

x

, für die das Prädikat

P (x)

gilt, enthält ein Element

a

genau dann, wenn das Prädikat auf

a

zutrifft. Formal:

a \in {x ∣ P (x)} : ⟺ P (a)

Zu dieser unbeschränkten Beschreibung gibt es auch eine beschränkte Variante:

{x \in M ∣ P (x)} := {x ∣ (x \in M) \land P (x)}

Oft kommt auch die Kurzschreibweise

{f (x) ∣ P (x)} := {y ∣ \exists x (y = f (x) \land P (x))}

vor, wobei mit

f (x)

ein Funktionsterm gemeint ist.

Entsprechend der Definition der Gleichheit von zwei Mengen lässt sich die Aussage

A = {x ∣ P (x)}

jetzt in den logischen Ausdruck

\forall x (x \in A \leftrightarrow P (x))

auflösen.

Teilmenge

Eine Menge

A

heißt Teilmenge einer Menge

B

, wenn jedes Element von

A

auch Element von

B

ist. Formal:

A \subseteq B : ⟺ \forall x (x \in A \to x \in B)

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit

∅︀

oder auch

{}

bezeichnet.

A = ∅︀ : ⟺ \forall x (\neg x \in A)

Für die Negation

\neg x \in A

schreibt man kürzer

x \notin A

.

Schnittmenge

Gegeben ist eine nichtleere Menge

U

von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von

U

ist die Menge der Objekte, die in jedem Element von

U

– das ist jeweils wiederum eine Menge – enthalten sind. Formal:

⋂ U := {x ∣ \forall a \in U : x \in a}

Speziell für zweielementiges

U = {A, B}

schreibt man

A \cap B = ⋂ {A, B}

.

Wenn

(A_{i})_{i \in I}

eine Familie von Mengen mit nichtleerer Indexmenge

I

ist, dann ist die Schnittmenge

⋂_{i \in I} A_{i} := {x ∣ \forall i \in I : x \in A_{i}} .

⋂ ∅︀

bzw.

⋂_{i \in I} A_{i}

für

I = ∅︀

ist im Allgemeinen nicht definiert. Wenn in einem speziellen Kontext alle betrachteten Elemente zu einer fixierten Grundmenge

Ω

gehören und alle betrachteten Mengen Teilmengen von

Ω

sind, ist

I = ∅︀

zulässig und es gilt

⋂_{i \in ∅︀} A_{i} = Ω

.

Vereinigungsmenge

Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge einer (nicht notwendigerweise nichtleeren) Menge

U

von Mengen ist die Menge der Objekte, die in mindestens einem Element von

U

enthalten sind. Formal:

⋃ U := {x ∣ \exists a \in U : x \in a}

Speziell für zweielementiges

U = {A, B}

schreibt man

A \cup B = ⋃ {A, B}

.

Wenn

(A_{i})_{i \in I}

eine Familie von Mengen mit Indexmenge

I

ist, dann ist die Vereinigungsmenge

⋃_{i \in I} A_{i} := {x ∣ \exists i \in I : x \in A_{i}} .

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

A = B : ⟺ \forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B)

Differenz und Komplement

Die Bildung der Differenzmenge wird nur bezüglich zweier Mengen definiert:

Die Differenzmenge (auch Restmenge) von

A

und

B

(umgangssprachlich auch A ohne B, s. Abb.) ist die Menge der Elemente, die in

A

, aber nicht in

B

enthalten sind. Formal:

A ∖ B := {x ∣ (x \in A) \land (x \in̸ B)}

Man nennt diese Differenzmenge auch Komplement von B in Bezug auf A.

Führt man diese Mengenbildung innerhalb einer Grundmenge X durch, so hat man hier die Komplementärmenge von $B$ (bezüglich X), also

B^{∁} := X ∖ B

und dabei hat man

A ∖ B = A \cap B^{∁}

. Sofern A mit dieser Grundmenge zusammenfällt und damit B eine Teilmenge von A ist, dann gilt gerade

A ∖ B = B^{∁}

.

Symmetrische Differenz

Die symmetrische Differenz ergibt sich mittels Anwendung der Differenzbildung:

A △ B := {x ∣ (x \in A \land x \in̸ B) \lor (x \in B \land x \in̸ A)} = (A \cup B) ∖ (A \cap B) = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)

Potenzmenge

Die Potenzmenge

𝒫 (A)

einer Menge

A

ist die Menge aller Teilmengen von

A

:

𝒫 (A) := {X ∣ X \subseteq A}

Die Potenzmenge einer Menge

A

enthält immer die leere Menge und die Menge

A

selbst. Somit ist

𝒫 (∅︀) = {∅︀}

, also eine einelementige Menge.

Geordnetes Paar

Auch der Begriff des geordneten Paares

(a, b)

wird auf

\in

zurückgeführt. Da es beim geordneten Paar auf die Reihenfolge ankommt, muss es irgendwie gelingen, das

a

vor dem

b

auszuzeichnen. Üblicherweise verwendet man die auf Kuratowski zurückgehende Definition:

(a, b) := {{a}, {a, b}}

(a, b)

ist also eine Menge von zwei Mengen, und sind

a

und

b

verschieden (nur dann muss man eine Reihenfolge festlegen), so ist

a

dasjenige Element, das in beiden Mengen vorkommt, kurz

a = ⋂ ⋂ (a, b)

.

Kartesisches Produkt

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert werden:

Die Produktmenge von

A

und

B

ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus

A

und deren zweites Element aus

B

ist; formal:

A \times B := {(a, b) ∣ a \in A \land b \in B}

Relationen und Funktionen

Eine Relation

R

zwischen

A

und

B

ist eine Teilmenge

R \subset A \times B

.

Eine Funktion

f

von

A

nach

B

, in Zeichen

f : A \to B

, ist eine Relation

f \subset A \times B

mit

\forall a (a \in A \to \exists b (b \in B \land (a, b) \in f))

(d. h., zu jedem

a \in A

gibt es mindestens einen Funktionswert) und

\forall a \forall b \forall c (((a, b) \in f \land (a, c) \in f) \to b = c)

(d. h., zu jedem

a \in A

gibt es höchstens einen Funktionswert).

Für

(a, b) \in f

schreibt man suggestiver

f (a) = b

. Damit sind auch diese Begriffe auf die

\in

-Beziehung zurückgeführt. Damit lassen sich weitere Begriffe wie Äquivalenzrelation, injektive Funktion, surjektive Funktion, bijektive Funktion und vieles mehr definieren.

Quotientenmenge

Ist eine Äquivalenzrelation

\sim

auf einer Menge

M

gegeben, lässt sich zunächst die Äquivalenzklasse eines Elements

a \in M

definieren:

[a] := {x \in M ∣ a \sim x}

Die Menge aller Äquivalenzklassen von

\sim

wird Quotientenmenge genannt:

M / \sim := {[a] ∣ a \in M}

Sagt die Äquivalenzrelation z. B. aus, dass zwei Schüler in dieselbe Klasse gehen, dann ist die Äquivalenzklasse eines Schülers seine Schulklasse und die Quotientenmenge die Menge der Schulklassen der Schule.

Natürliche Zahlen

Nach John von Neumann kann man die natürlichen Zahlen in der Mengenlehre wie folgt definieren:

\begin{matrix} 0 & := & ∅︀ \\ 1 & := {0} & = {∅︀} \\ 2 & := {0, 1} & = {∅︀, {∅︀}} \\ 3 & := {0, 1, 2} & = {∅︀, {∅︀}, {∅︀, {∅︀}}} \\ ⋮ \\ n + 1 & := {0, 1, \dots, n} & = n \cup {n} \\ ⋮ \\ ℕ & := {0, 1, 2, 3, \dots}, & wobei ⋃ ℕ = ℕ \end{matrix}

Damit sollte klar sein, wie man mittels obiger Definitionen alle weiteren Begriffe der Mathematik auf den Mengenbegriff zurückführen kann.

Mächtigkeit und Kardinalzahl: Mit den Begriffen der bijektiven Funktion und der Äquivalenzrelation lässt sich nun auch die eingangs erwähnte Mächtigkeit einer Menge definieren. Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge $A$ wird mit $| A |$ (zuweilen auch $# A$ ) bezeichnet. Eine Menge heißt endlich, wenn sie gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl ist, dann ist $| A |$ die Anzahl der Elemente von $A$ . Damit ist der Begriff Kardinalzahl eine Verallgemeinerung der Elementanzahl einer (endlichen) Menge. Unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen wird die Mächtigkeit der Potenzmenge von $A$ , auch bei unendlichen Mengen, mit $2^{| A |}$ bezeichnet.

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge $𝒫 (X)$ ist bezüglich der Relation $\subseteq$ partiell geordnet, denn für alle $A, B, C \subseteq X$ gilt:

Reflexivität: $A \subseteq A$
Antisymmetrie: Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A = B$
Transitivität: Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$ folgt $A \subseteq C$

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv:

Assoziativgesetz:
- $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ und
- $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
Kommutativgesetz:
- $A \cup B = B \cup A$ und
- $A \cap B = B \cap A$
Distributivgesetz:
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ und
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
De Morgansche Gesetze:
- ${(A \cup B)}^{∁} = A^{∁} \cap B^{∁}$ und
- ${(A \cap B)}^{∁} = A^{∁} \cup B^{∁}$
Absorptionsgesetz:
- $A \cup (A \cap B) = A$ und
- $A \cap (A \cup B) = A$

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Assoziativgesetze:
- $(A ∖ B) ∖ C = A ∖ (B \cup C)$ und
- $A ∖ (B ∖ C) = (A ∖ B) \cup (A \cap C)$
Distributivgesetze:
- $(A \cap B) ∖ C = (A ∖ C) \cap (B ∖ C)$ und
- $(A \cup B) ∖ C = (A ∖ C) \cup (B ∖ C)$ und
- $A ∖ (B \cap C) = (A ∖ B) \cup (A ∖ C)$ und
- $A ∖ (B \cup C) = (A ∖ B) \cap (A ∖ C)$

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Assoziativgesetz: $(A △ B) △ C = A △ (B △ C)$
Kommutativgesetz: $A △ B = B △ A$
Distributivgesetz: $(A △ B) \cap C = (A \cap C) △ (B \cap C)$
neutrales Element: $A △ ∅︀ = A$
Inverse: $A △ A = ∅︀$

Siehe auch

Literatur

Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= vieweg studium - Grundkurs Mathematik. Band 58). Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden 1985, ISBN 3-528-07258-X.
Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2.
Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin / Heidelberg / New York, NY 1928. Neudruck: Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Band 6). 4. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8.
Dieter Klaua: Mengenlehre. Walter de Gruyter & Co., Berlin / New York 1979, ISBN 3-11-007726-4.
Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 978-3-540-34034-8, doi:10.1007/978-3-540-34035-5 (französisch, Nachdruck der Originalausgabe Hermann, Paris 1970).
Erich Kamke: Mengenlehre. 7. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1971, ISBN 3-11-003911-7.
Kenneth Kunen: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980, ISBN 0-444-85401-0.
Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.
Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4.
- (spätere aktualisierte Fassung online frei zugänglich über die Website des Autors)
André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraic Set Theory. Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1.
Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
Christian Spannagel: Mengenlehre. Vorlesungsreihe.

Weblinks

Commons: Set theory – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Mengenlehre – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

↑ Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. Def. 2, S. E.II.22.
↑ Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. S. E.II.22.
↑ Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. S. E.R.19.
↑ Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. Def. 1, S. E.II.22.

[1] Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. Def. 2, S. E.II.22.

[2] Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. S. E.II.22.

[3] Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. S. E.R.19.

[4] Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. Def. 1, S. E.II.22.