Michael-Gerade

Die Michael-Gerade oder Michael-Line, benannt nach Ernest Michael, ist ein spezieller, im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachteter topologischer Raum. Historisch war er das erste Beispiel eines normalen Raums, dessen Produkt mit einem metrischen Raum nicht wieder normal ist.

Definition

Die Michael-Gerade ${\displaystyle M}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$, woher die Bezeichnung Gerade rührt, zusammen mit der wie folgt definierten Topologie ${\displaystyle \tau _{M}}$: Offene Mengen sind die Vereinigungen ${\displaystyle U\cup I}$, wobei

• ${\displaystyle U}$ eine in der euklidischen Topologie offene Menge, das heißt eine Vereinigung von Intervallen ${\displaystyle (a,b)}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle I}$ eine beliebige Teilmenge der irrationalen Zahlen

ist. Man zeigt, dass dadurch ein topologischer Raum ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,\tau _{M})}$ definiert ist.

Eigenschaften

• Die Michael-Gerade ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,\tau _{M})}$ ist ein normaler Raum, sogar ein parakompakter Raum.
• Ist ${\displaystyle X}$ der Raum der irrationalen Zahlen mit der relativen euklidischen Topologie, so ist das Produkt ${\displaystyle M\times X}$ nicht normal. Das hat E. Michael in seiner unten zitierten Originalarbeit gezeigt.
• Die Michael-Gerade ist nicht metrisierbar, denn obiges Produkt wäre sonst ebenfalls metrisierbar und damit normal.
• Die Michael-Gerade ist kein Lindelöf-Raum. Ist ${\displaystyle (r_{n})_{n}}$ eine Abzählung der rationalen Zahlen, so bilden die Mengen ${\displaystyle (r_{n}-2^{-n},r_{n}+2^{-n})}$ und die einpunktigen Mengen ${\displaystyle \{x\}}$ aus allen irrationalen Punkten eine offene Überdeckung, die keine abzählbare Teilüberdeckung besitzt, denn die Vereinigung einer abzählbaren Teilmenge der Überdeckungsmengen hat höchstens das Lebesgue-Maß 4. Die Frage, ob es auch Lindelöf-Räume gibt, deren Produkt mit dem Raum der irrationalen Zahlen nicht normal ist, berührt die Axiomatik der Mengenlehre. Lindelöf-Räume mit dieser Eigenschaft nennt man Michael-Räume, die Michael-Gerade ist wegen der fehlenden Lindelöf-Eigenschaft kein Michael-Raum.

Einzelnachweise

1. ↑ Ernest Michael: The product of a normal space and a metric space need not be normal. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 69, Nr. 3, 1963, S. 375–376, doi:10.1090/S0002-9904-1963-10931-3.
2. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, Aufgabe 38.
3. ↑ Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, S. 197.
4. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 136.
5. ↑ L. Brian Lawrence: The influence of a small cardinal on the product of a Lindelöf space and the irrationals. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 110, Nr. 2, 1990, S. 535–542, doi:10.2307/2048101.