Milnor-Faserung

In der Mathematik sind Milnor-Faserungen ein häufig studiertes Beispiel der Singularitätentheorie.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} }$ ein Polynom in ${\displaystyle n+1}$ Variablen, für das ${\displaystyle f(0)=0}$ und ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n+1}}$ ein kritischer Punkt ist. Sei ${\displaystyle V(f)=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n+1}\colon f(x)=0\right\}}$ und ${\displaystyle S_{\epsilon }=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n+1}\colon \Vert x\Vert =\epsilon \right\}}$ für ein kleines ${\displaystyle \epsilon >0}$.

Als Milnor-Faserung bezeichnet man die Abbildung

${\displaystyle {\frac {f}{\Vert f\Vert }}\colon S_{\epsilon }\setminus (S_{\epsilon }\cap V(f))\to S^{1}}$.

Als Milnor-Fasern bezeichnet man die Fasern (Urbilder) dieser Abbildung.

Eigenschaften der Milnor-Faserung

• Für ${\displaystyle B_{\epsilon }=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n+1}\colon \Vert x\Vert \leq \epsilon \right\}}$ ist ${\displaystyle B_{\epsilon }\cap V(f)}$ ein Kegel über ${\displaystyle S_{\epsilon }\cap V(f)}$. Letzteres wird als Link der Singularität bezeichnet.
• Der Link der Singularität ${\displaystyle S_{\epsilon }\cap V(f)}$ ist ${\displaystyle (n-2)}$-zusammenhängend.
• Die Abbildung ${\displaystyle {\frac {f}{\Vert f\Vert }}\colon S_{\epsilon }\setminus (S_{\epsilon }\cap V(f))\to S^{1}}$ ist eine lokal-triviale Faserung.
• Wenn ${\displaystyle r}$ die komplexe Dimension des Keims der kritischen Menge von ${\displaystyle f\mid _{V(f)}}$ ist, dann sind die Milnor-Fasern ${\displaystyle (n-r-1)}$-zusammenhängend. Insbesondere sind im Fall isolierter Singularitäten die Milnor-Fasern ${\displaystyle (n-1)}$-zusammenhängend.
• Die Milnor-Fasern haben den Homotopietyp eines endlichen CW-Komplexes der reellen Dimension ${\displaystyle n}$. Im Fall isolierter Singularitäten haben die Milnor-Fasern den Homotopietyp eines Bouquets von ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$-Sphären. Die Zahl ${\displaystyle \mu }$ heißt die Milnor-Zahl der Singularität. Sie kann berechnet werden als

${\displaystyle \mu =\dim _{\mathbb {C} }\left(\mathbb {C} \left\{z_{1},\ldots ,z_{n+1}\right\}/\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n+1}}}\right)\right)}$,

wobei ${\displaystyle \mathbb {C} \left\{z_{1},\ldots ,z_{n+1}\right\}}$ die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra der Keime analytischer Funktionen in ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n+1}}$ ist.

• Die Milnor-Fasern sind parallelisierbar.
• Monodromiesatz: Sei ${\displaystyle h\colon F\to F}$ die Monodromie der Milnor-Faserung. Dann sind die Eigenwerte von

${\displaystyle h^{*}\colon H^{i}(F;\mathbb {C} )\to H^{i}(F;\mathbb {C} )}$

stets Einheitswurzeln. Tatsächlich gibt es positive Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q=i+1}$, so dass

${\displaystyle ((h^{*})^{p}-id)^{q}=0}$.

Beispiel

Für

${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1}^{p}+z_{2}^{q}}$

ist ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle S_{\epsilon }\simeq S^{3}}$, ${\displaystyle S_{\epsilon }\cap V(f)}$ ein ${\displaystyle (p,q)}$-Torusknoten, und die Existenz der Milnor-Faserung zeigt, dass es sich bei Torusknoten um gefaserte Knoten handelt. Die Faser ist eine nicht-kompakte Fläche, welche den Homotopietyp eines Bouquets von Kreisen hat, also eines ${\displaystyle 1}$-dimensionalen CW-Komplexes.

Literatur

• John Milnor: Singular points of complex hypersurfaces. Princeton 1968.