Multiindex

In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ ein Tupel von natürlichen Zahlen oder Null.

Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.

Konventionen der Multiindex-Schreibweise

In diesem Artikel seien ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ {\boldsymbol {k}}=(k_{1},\ldots ,k_{n}),\ {\boldsymbol {\ell }}=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ jeweils ein Multiindex, das heißt ein $n$ -Tupel von natürlichen Zahlen oder Null. Wir vereinbaren die folgenden Konventionen:

{\begin{array}{ccl}{\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}=\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}=\ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}\leq \ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}\leq \ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\ell }}&:=&(k_{1}+\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}+\ell _{n})\\\\{\boldsymbol {k}}!&:=&k_{1}!\cdots k_{n}!\\\\{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}&:=&{\frac {{\boldsymbol {\alpha }}!}{({\boldsymbol {\alpha -k}})!\,{\boldsymbol {k}}!}}={\alpha _{1} \choose k_{1}}\cdots {\alpha _{n} \choose k_{n}}\\\\|{\boldsymbol {k}}|&:=&k_{1}+\cdots +k_{n}\\\\{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}&:=&x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\\\\{\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}&:=&D_{1}^{k_{1}}\cdots D_{n}^{k_{n}}\,,\end{array}}

wobei ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})$ die Koordinatenfunktionen von $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. ${\boldsymbol {D_{\boldsymbol {k}}}}$ ist der Differentialoperator der Ordnung $|k|$ , der aus den partiellen Ableitungen $D_{i}x_{j}=\delta _{ij},i,j\in \{1,\dots n\},$ zusammengesetzt ist.

Anzahl von Multiindizes

Es gibt ${{\boldsymbol {n+|{\boldsymbol {k}}|-1}} \choose {\boldsymbol {|k|}}}$ verschiedene Multiindizes der Größe $|{\boldsymbol {k}}|$ in $n$ Variablen oder homogene Monome vom Grade $|{\boldsymbol {k}}|$ in $n$ kommutierenden Variablen.

Dies sieht man am Binomialkoeffizienten in $(a+b)^{n+|{\boldsymbol {k}}|-1}=\dots +{{\boldsymbol {n+|{\boldsymbol {k}}|-1}} \choose {\boldsymbol {|k|}}}a^{|{\boldsymbol {k}}|}b^{n-1}+\dots .$ Der Koeffizient ist die Anzahl von Möglichkeiten, $n+|{\boldsymbol {k}}|-1$ Plätze mit $|{\boldsymbol {k}}|$ Symbolen $a$ und die restlichen $n-1$ Plätze mit Symbolen $b$ zu belegen.

Diese Anzahl ist richtig, unabhängig davon was $a$ und $b$ ist. Sie gilt für die Zahl von Zeichenketten, in denen $b$ die $n-1$ Trennzeichen zwischen $n$ Symbolen $x_{i}$ ist, wobei der Index $i$ die Zahl der Trennzeichen auf der linken Seite von $x_{i}$ plus 1 ist. Jede solche Zeichenkette, beispielsweise $aaabbab$ , entspricht einem Monom, hier $(x_{1})^{3}(x_{2})^{0}(x_{3})^{1}(x_{4})^{0}$ mit dem Multiindex ${\boldsymbol {m}}=(3,0,1,0)$ . Es gibt in 4 Variablen ${7 \choose 4}=35$ Multiindizes der Größe 4.

Anwendungsbeispiele

Potenzreihe

Eine Mehrfachpotenzreihe $\sum _{k_{1}\geq 0}\cdots \sum _{k_{n}\geq 0}a_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-z_{1}^{o})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-z_{n}^{o})^{k_{n}}$ lässt sich kurz schreiben als $\sum _{{\boldsymbol {k}}\geq 0}a_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}^{o})^{\boldsymbol {k}}$ .

Potenzfunktion

Sind ${\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}$ Multiindizes in $\mathbb {N} _{0}^{n}$ , so gilt ${\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}}!}}={\frac {{\boldsymbol {x}}^{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}}{({\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}})!}}$ und ${\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}{\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}}{m!}}={\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m-|{\boldsymbol {k}}|}}{(m-|{\boldsymbol {k}}|)!}}$ .

Falls nicht ${\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}$ , falls also eine Komponente von ${\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}$ negativ ist, so ist ${\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {m}}=0.$

Geometrische Reihe

Für $-{\boldsymbol {1}}<{\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {1}}$ gilt $\sum _{|{\boldsymbol {k}}|\geq 0}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}={\frac {1}{({\boldsymbol {1}}-{\boldsymbol {x}})^{\boldsymbol {1}}}}$ , wobei ${\boldsymbol {1}}=(1,\ldots ,1)$ ist.

Binomischer Lehrsatz

Sind ${\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {C} ^{n}$ und ist ${\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ , so gilt $({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})^{\boldsymbol {m}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {y}}^{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}$ bzw. ${\frac {({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})^{\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}}!}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}{\frac {{\boldsymbol {y}}^{\boldsymbol {j}}}{{\boldsymbol {j}}!}}$ .

Multinomialtheorem

Für ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und $m\in \mathbb {N}$ ist

$(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{n}=m}{m \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$ oder

${\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}}{m!}}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{n}=m}{\frac {x_{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}\cdots {\frac {x_{n}^{k_{n}}}{k_{n}!}}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}.$

Leibniz-Regel

Ist ${\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ und sind $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $|{\boldsymbol {m}}|$ -mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

D_{\boldsymbol {m}}(fg)=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}(D_{\boldsymbol {k}}f)(D_{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}g)

beziehungsweise

{\frac {D_{\boldsymbol {m}}(fg)}{{\boldsymbol {m}}!}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{\frac {D_{\boldsymbol {k}}f}{{\boldsymbol {k}}!}}{\frac {D_{\boldsymbol {j}}g}{{\boldsymbol {j}}!}}

.

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Cauchy-Produkt

Für Mehrfachpotenzreihen $f({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}a_{\boldsymbol {\ell }}\,{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}\;,\;g({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}b_{\boldsymbol {\ell }}\,{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}$ gilt $f({\boldsymbol {z}})\,g({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}\left(\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {\ell }}}a_{\boldsymbol {k}}\,b_{\boldsymbol {j}}\right){\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}$ .

Sind $f_{1}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }a_{1\ell }z^{\ell }\;,\;\ldots \;,\;f_{n}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }a_{n\ell }z^{\ell }$ Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt $f_{1}(z)\cdots f_{n}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=\ell }a_{\boldsymbol {k}}\right)z^{\ell }$ , wobei $a_{\boldsymbol {k}}=a_{1k_{1}}\cdots a_{nk_{n}}$ ist.

Exponentialreihe

Für ${\boldsymbol {z}}=(z_{1},...,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ gilt $\mathrm {e} ^{z_{1}+...+z_{n}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}$ .

Binomische Reihe

Sind ${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ und sind alle Komponenten von ${\boldsymbol {x}}$ betragsmäßig $<1\,$ , so gilt $({\boldsymbol {1}}+{\boldsymbol {x}})^{\boldsymbol {\alpha }}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|\geq 0}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}\,{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}$ .

Vandermondesche Konvolution

Ist ${\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ und sind ${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {C} ^{n}$ , so gilt ${{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {m}}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {j}}}$ .

Ist $m\in \mathbb {N}$ und ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ , so gilt ${|{\boldsymbol {\alpha }}| \choose m}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}$ .

Cauchysche Integralformel

In mehreren Veränderlichen $z_{1},\ldots ,z_{n}\,$ lässt sich die cauchysche Integralformel

{\frac {D_{\boldsymbol {k}}f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}

kurz schreiben als

a_{\boldsymbol {k}}:={\frac {D_{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{\boldsymbol {1}}}}\oint _{\partial {\boldsymbol {U}}}{\frac {f({\boldsymbol {\xi }})}{({\boldsymbol {\xi }}-{\boldsymbol {z}})^{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {1}}}}}\,{\boldsymbol {d\xi }}

,

wobei $\partial {\boldsymbol {U}}=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}$ sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung $|a_{\boldsymbol {k}}|\leq {\tfrac {M}{{\boldsymbol {r}}^{\boldsymbol {k}}}}$ , wobei $\textstyle M=\max _{{\boldsymbol {\xi }}\in \partial {\boldsymbol {U}}}|f({\boldsymbol {k}})|$ ist.

Taylor-Reihe

Ist $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine analytische Funktion oder $f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Abbildung, so kann man $f$ mit Hilfe eines Entwicklungspunktes ${\boldsymbol {z}}_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ oder ${\boldsymbol {z}}_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ in einer Taylorreihe

f({\boldsymbol {z}})=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {D_{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}}_{0})}{{\boldsymbol {k}}!}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}_{0})^{\boldsymbol {k}}

darstellen.

Hurwitz-Identität

Für $x,y\in \mathbb {C}$ mit $x\neq 0$ und ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ gilt $(x+y)^{n}=\sum _{{\boldsymbol {0}}\leq {\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {1}}}x\,(x+{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}})^{|{\boldsymbol {k}}|-1}\,(y-{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}})^{n-|{\boldsymbol {k}}|}$ .

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,x\,(x+ak)^{k-1}\,(y-ak)^{n-k}$ .

Letztere erhält man im Fall ${\boldsymbol {a}}=(a,a,...,a)$ .

Literatur

Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3., überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.