Multilinearform

Eine ${\displaystyle p}$-Multilinearform ${\displaystyle \omega }$ist in der Mathematik eine Funktion, die ${\displaystyle p}$Argumenten ${\displaystyle v_{i}\in V_{i},\;i\in \{1,\ldots ,p\}}$aus ${\displaystyle K}$-Vektorräumen ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{p}}$einen Wert ${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})\in K}$zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Eine Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega :\ V_{1}\times \cdots \times V_{p}&\rightarrow K\\(v_{1},\ldots ,v_{p})\ &\mapsto \omega \left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)\end{aligned}}}$

heißt Multilinearform, wenn für alle ${\displaystyle v_{j}\in V_{j},j\in \{1,\ldots ,p\}}$und alle ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,p\}}$folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle ${\displaystyle \lambda \in K}$gilt

${\displaystyle \omega \left(v_{1},\ldots ,\lambda \;v_{i},\ldots ,v_{p}\right)=\lambda \;\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)}$

und für alle ${\displaystyle w\in V_{i}}$

${\displaystyle \omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i}+w,\ldots ,v_{p}\right)=\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)+\omega \left(v_{1},\ldots ,w,\ldots ,v_{p}\right)}$.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V_{1},\ldots ,V_{p})}$bildet einen ${\displaystyle K}$-Vektorraum. Im Fall ${\displaystyle V_{1}=\cdots =V_{p}=:V}$schreibt man ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V):={\mathcal {J}}^{p}(V,\ldots ,V)}$.

Eine Multilinearform ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {J}}^{p}(V)}$heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

${\displaystyle \omega \left(\dots ,v,\dots ,v,\dots \right)=0}$

für alle ${\displaystyle v\in V}$.

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

${\displaystyle \omega \left(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{p}\right)=-\omega \left(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{p}\right)}$

für alle ${\displaystyle v_{k}\in V,\;k\in \{1,\ldots ,p\}}$und ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,p\},\;i\neq j}$. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von ${\displaystyle K}$nicht 2 ist, also zum Beispiel für ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$.

Ist allgemeiner ${\displaystyle \pi \in S_{p}}$eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

${\displaystyle \omega \left(v_{\pi (1)},\dotsc ,v_{\pi (p)}\right)=\operatorname {sign} (\pi )\cdot \omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{p}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {sign} (\pi )}$das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen ${\displaystyle \Omega ^{p}(V)}$ist ein Untervektorraum von ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V)}$. Wichtig ist der Spezialfall ${\displaystyle \ p=\dim V}$. Dann ist ${\displaystyle \Omega ^{p}(V)}$ein eindimensionaler Unterraum von ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V)}$, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle ${\displaystyle \Omega ^{p}(V),p=0,1,2,\ldots }$erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von ${\displaystyle K}$nicht 2 ist).
3. Bildet man aus ${\displaystyle n}$Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also ${\displaystyle \omega }$definiert durch
   ${\displaystyle \omega \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right):=\det {\begin{pmatrix}v_{1x}&v_{2x}&v_{3x}\\v_{1y}&v_{2y}&v_{3y}\\v_{1z}&v_{2z}&v_{3z}\end{pmatrix}}}$
   eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
   ${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{2}={\begin{pmatrix}v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{3}={\begin{pmatrix}v_{3x}\\v_{3y}\\v_{3z}\end{pmatrix}}}$.
4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume ${\displaystyle V_{i}}$identisch sind (also ${\displaystyle V_{i}=V}$), ist die ${\displaystyle p}$-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor ${\displaystyle p}$-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden ${\displaystyle p}$-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren ${\displaystyle p}$-ter Stufe.
5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.