Nichtkommutatives Polynom

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.

Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ eine Menge und ${\displaystyle W({\mathcal {X}})}$ das freie Monoid über ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. (Dann ist ${\displaystyle W({\mathcal {X}})=\{x_{1}\cdots x_{n}|x_{i}\in {\mathcal {X}},\;n\geq 1\}\cup \{1\}}$) Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über ${\displaystyle R}$ ist definiert als

${\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle$ :=\{\sum _{x\in W({\mathcal {X}})}r_{w}w|r_{w}\in R,\;r_{w}=0\;\operatorname {f{\ddot {u}}r} {\text{ fast alle }}w\}\cong \bigoplus _{w\in W({\mathcal {X}})}R}

Die Addition auf ${\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle }$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

${\displaystyle \sum _{w}a_{w}w\cdot \sum _{w}b_{w}w:=\sum _{w}(\sum _{uv=w}a_{u}b_{v})w}$

definiert.

Eigenschaften

• Für endliche Mengen ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ schreibt man ${\displaystyle R\langle X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$.
• ${\displaystyle R\langle X\rangle =R[X]}$ für eine Variable ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle /[R\langle {\mathcal {X}}\rangle ,R\langle {\mathcal {X}}\rangle ]=R[{\mathcal {X}}]}$

Siehe auch

• Polynom
• nichtkommutative Potenzreihe