Sei R ein Ring. Ein Ideal N von R, das nur aus nilpotenten Elementen besteht, heißt Nilideal.
Allgemeiner nennt man jede Teilmenge eines Ringes nil, wenn diese nur aus nilpotenten Elementen besteht.
Während man von einem nilpotenten Ideal verlangt, dass es ein gibt mit , das heißt jedes Produkt der Länge von Elementen ist gleich 0, wird von einem Nilideal lediglich verlangt, dass es zu jedem Element ein von abhängiges gibt mit .
Beispiele und Eigenschaften
Jedes nilpotente Ideal ist ein Nilideal, und für endlich erzeugte Ideale in kommutativen Ringen gilt auch die Umkehrung. Ein Beispiel für ein Nilideal, das nicht nilpotent ist, ist das Ideal im Ring mit einem Körper und je einer Unbestimmten für jede natürliche Zahl .