Noether-Theorem

Wirkung

Der im Noether-Theorem formulierte Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen gilt für solche physikalischen Systeme, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip abgeleitet werden können. Man verlangt hierbei, dass das sogenannte Wirkungsfunktional einen Extremwert annimmt (siehe auch Prinzip der kleinsten Wirkung).

Bei der Bewegung von Massepunkten ist dieses Wirkungsfunktional ${\displaystyle S}$ durch eine Lagrangefunktion der Zeit ${\displaystyle t}$, des Ortes ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {x}}={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))}$

charakterisiert und ordnet jeder differenzierbaren Bahnkurve ${\displaystyle x\colon t\mapsto x(t)}$ das Zeitintegral

${\displaystyle S[x]=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\,\mathrm {d} t}$

zu. Beispielsweise ist in Newtonscher Physik die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential ${\displaystyle \Phi }$ die Differenz von kinetischer Energie ${\displaystyle T={\tfrac {m}{2}}v^{2}}$ und potentieller Energie ${\displaystyle V=m\Phi }$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {x}}^{2}(t)-V(x(t))}$

Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn, die zur Anfangszeit ${\displaystyle t_{1}}$ durch den Startpunkt ${\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}$ und zur Endzeit ${\displaystyle t_{2}}$ durch den Endpunkt ${\displaystyle x_{2}=x(t_{2})}$ geht, macht den Wert der Wirkung im Vergleich mit allen anderen (differenzierbaren) Bahnen, die durch denselben Start- bzw. Endpunkt gehen, stationär (oder extremal). Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn erfüllt daher die Bewegungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}{\mathcal {L}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}}$

(Herleitung siehe Variationsrechnung). Dies entspricht gerade der Newtonschen Bewegungsgleichung

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}(x)}$.

Differentialgleichungen, die sich derart aus einem Wirkungsfunktional durch Variation ableiten lassen, nennt man variationell selbstadjungiert. Alle elementaren Feld- und Bewegungsgleichungen der Physik sind variationell selbstadjungiert.

Symmetrie

Man sagt, dass eine Differentialgleichung eine Symmetrie besitzt, wenn es eine Transformation des Raumes der Kurven gibt, die die Lösungen der Differentialgleichungen auf Lösungen abbildet. Für variationell selbstadjungierte Differentialgleichungen erhält man eine solche Transformation, wenn die Transformation das Wirkungsfunktional bis auf Randterme invariant lässt. Das Noether-Theorem besagt, dass die Invarianz des Wirkungsfunktionals gegenüber einer einparametrigen stetigen Transformationsgruppe die Existenz einer Erhaltungsgröße zur Folge hat und dass umgekehrt jede Erhaltungsgröße die Existenz einer (mindestens infinitesimalen) Symmetrie der Wirkung zur Folge hat.

Wir beschränken uns hier auf Symmetrien in der klassischen Mechanik.

Sei ${\displaystyle \Phi _{s}}$ eine einparametrige, differenzierbare Gruppe von Transformationen, die (genügend differenzierbare) Kurven ${\displaystyle \Gamma \colon t\mapsto x(t)}$ auf Kurven ${\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(s,t,\Gamma )}$ abbildet, und gehöre der Parameterwert ${\displaystyle s=0}$ zur identischen Abbildung, ${\displaystyle \Phi _{0}\Gamma \colon t\mapsto x(t)}$.

Beispielsweise bildet ${\displaystyle \Phi _{s}\Gamma =\Gamma _{s}}$ mit ${\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(t+s)}$ jede Kurve ${\displaystyle \Gamma }$ auf die um ${\displaystyle s}$ früher durchlaufene Kurve ab. Die Transformation ${\displaystyle \Phi _{s}\Gamma =\Gamma _{s}}$ mit ${\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(t)+s\,c}$ verschiebt jede Kurve um eine Konstante ${\displaystyle s\,c}$.

Die Transformationen ${\displaystyle \Phi _{s}}$ heißen lokal, wenn sich die Ableitung bei der identischen Abbildung ausgewertet auf der Kurve ${\displaystyle \Gamma }$, schreiben lässt als:

${\displaystyle \delta x\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma )}$.

Identische Abbildung bedeutet dabei, dass die infinitesimale Transformation

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma )\ ,}$

für alle Kurven ${\displaystyle \Gamma }$ als Funktion ${\displaystyle \delta x(t,x,v)}$ der Zeit, des Ortes ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ gebildet wird.

Beispielsweise sind die Verschiebungen von Zeit und Ort lokal und gehören zur infinitesimalen Transformation ${\displaystyle \delta x=v}$ beziehungsweise zu ${\displaystyle \delta x=c}$.

Sei nun ${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x,v)}$ die Lagrangefunktion des mechanischen Systems. Dann heißen die lokalen Transformationen ${\displaystyle \Phi _{s}}$ Symmetrien der Wirkung, wenn sich für alle Kurven ${\displaystyle \Gamma }$ die Lagrangefunktion bei infinitesimalen Transformationen nur um die Zeitableitung einer Funktion ${\displaystyle K(t,x,v)}$, ausgewertet auf ${\displaystyle \Gamma }$, ändert:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K\left(t,x(t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(t)\right)}$

Denn dann ändert sich die Wirkung nur um Randterme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}S[\Gamma _{s}]_{|_{s=0}}&=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)\\&=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K\left(t,x(t)\right)=K\left(t_{2},x(t_{2})\right)-K\left(t_{1},x(t_{1})\right)\end{aligned}}}$.

Der Zusammenhang dieser Definition der Symmetrie der Wirkung mit der Erhaltungsgröße wird klar, wenn man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach ${\displaystyle s}$ ausführt, und dabei als Kurzschrift die Definition der infinitesimalen Transformation verwendet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t))&={\frac {\partial x(s,t)}{\partial s}}_{|_{s=0}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}(t,x,v)+{\frac {\partial ^{2}x(s,t)}{\partial s\partial t}}_{|_{s=0}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}(t,x,v)\\&=\delta x{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}(t,x,v)+{\frac {\mathrm {d} \delta x}{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}(t,x,v)\end{aligned}}}$

Ergänzt man den ersten Term zu einem Vielfachen der Bewegungsgleichung und zieht man die Ergänzung beim zweiten Term ab, entsteht

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)=\delta x\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)}$

und die Definitionsgleichung einer infinitesimalen Symmetrie einer Wirkung lautet

${\displaystyle \delta x\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}-K\right)=0}$.

Da aber das ${\displaystyle \delta x}$-Fache der Bewegungsgleichungen auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet, besagt diese Gleichung, dass die Funktion

${\displaystyle Q=\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}-K}$,

die zur Symmetrie gehörige Noetherladung, sich auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen nicht ändert:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}Q\left(t,x_{\mathrm {phys} }(t),{\frac {\mathrm {d} x_{\mathrm {phys} }(t)}{\mathrm {d} t}}\right)=0}$

Umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße definitionsgemäß eine Funktion ${\displaystyle Q(t,x,v)}$, deren Zeitableitung auf physikalischen Bahnen verschwindet, also ein Vielfaches (von Ableitungen) der Bewegungsgleichungen ist. Dieses Vielfache definiert die infinitesimale Symmetrie ${\displaystyle \delta x}$.

Anmerkungen

• Symmetrien der Bewegungsgleichungen sind nicht immer Symmetrien der Wirkung. Beispielsweise ist die Streckung ${\displaystyle x(t)\mapsto \mathrm {e} ^{s}x(t)}$ eine Symmetrie der Bewegungsgleichung ${\displaystyle m{\ddot {x}}=0}$ des freien Teilchens, nicht aber eine Symmetrie seiner Wirkung mit der Lagrangefunktion ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}}$. Zu so einer Symmetrie der Bewegungsgleichungen gehört keine Erhaltungsgröße.
• Die zu einer Symmetrie gehörige Erhaltungsgröße als Funktion der Zeit, des Ortes und der Geschwindigkeiten verschwindet genau dann, wenn es sich um eine Eichsymmetrie handelt. In so einem Fall sind die Bewegungsgleichungen nicht unabhängig, sondern eine Bewegungsgleichung gilt als Folge der anderen. Dies besagt das zweite Noethertheorem.
• Das Noethertheorem für translatorische und rotierende Bewegungen
  • Translatorische Bewegungen: Das Noethertheorem erklärt, warum man bei Multiplikation der Newtonschen Bewegungsgleichungen mit den Geschwindigkeiten bei zeitunabhängigem Potential den Energieerhaltungssatz erhält: Die Geschwindigkeit ist die infinitesimale Änderung des Ortes bei zeitlicher Verschiebung.
  • Rotierende Bewegungen: Ebenso erklärt das Noethertheorem, warum bei drehinvariantem Potential das Produkt der Bewegungsgleichungen mit dem Kreuzprodukt ${\displaystyle {\vec {n}}\times {\vec {x}}}$ auf die Erhaltung des Drehimpulses in Richtung ${\displaystyle {\vec {n}}}$ führt: Das Kreuzprodukt ${\displaystyle {\vec {n}}\times {\vec {x}}}$ ist die infinitesimale Änderung von ${\displaystyle x}$ bei Drehung um die Achse ${\displaystyle {\vec {n}}}$. Die Eulersche Turbinengleichung wendet die Erhaltung des Drehimpulses auf die Auslegung von rotierenden Arbeitsmaschinen (Turbinen) an.
• Bei Verschiebungen und Drehungen des Ortes ist die Lagrangefunktion strikt invariant, das heißt, die Funktion ${\displaystyle K}$ verschwindet. Das gilt aber nicht für zeitliche Verschiebung und bei Transformation auf ein gleichmäßig bewegtes Bezugssystem. Unter zeitlichen Verschiebungen ist die Wirkung invariant, wenn die Lagrangefunktion nur vom Ort ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$, nicht aber von der Zeit abhängt. Dann ändert sich die Lagrangefunktion unter zeitlichen Verschiebungen um ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K}$ mit ${\displaystyle K={\mathcal {L}}}$. Die zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß die Energie

${\displaystyle E=v{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v}}-{\mathcal {L}}}$.

Ist bekannt, wie die Energie von der Geschwindigkeit abhängt, so legt diese Gleichung die Lagrangefunktion bis auf einen Anteil fest, der linear in den Geschwindigkeiten ist und nicht zur Energie beiträgt. Denn zerlegt man die Lagrangefunktion beispielsweise in Anteile ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}v^{n}}$, die homogen vom Grad ${\displaystyle n}$ in der Geschwindigkeit sind, dann tragen sie mit ${\displaystyle v{\tfrac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}_{n}v^{n}-{\mathcal {L}}_{n}v^{n}=(n-1){\mathcal {L}}_{n}v^{n}}$ zur Energie bei. Ist also ${\displaystyle \textstyle E=\sum _{n}E_{n}(x)v^{n}\,}$, so ist die Lagrangefunktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}{\frac {1}{n-1}}E_{n}v^{n}}$.

Insbesondere besteht in Newtonscher Physik die Energie aus der kinetischen Energie, die quadratisch in der Geschwindigkeit ist, ${\displaystyle n=2}$, und der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, ${\displaystyle n=0}$. Daher ist die Lagrangefunktion ${\displaystyle {\tfrac {1}{2-1}}}$-mal die kinetische Energie plus ${\displaystyle {\tfrac {1}{0-1}}}$-mal potentielle Energie. In der relativistischen Physik gilt für die Lagrangefunktion und die Energie eines freien Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Invarianzbedingung und Erhaltungsgröße

Die Bewegungsgleichungen bleiben bei einer infinitesimalen Abbildung der Koordinaten (mit ${\displaystyle s\ll 1}$ und dem Punkt als Ableitung nach der Zeit ${\displaystyle t}$)

${\displaystyle q_{i}\rightarrow q'_{i}=q_{i}+s\cdot {\tilde {q}}_{i}(t,q,{\dot {q}})}$

und der Zeit

${\displaystyle t\rightarrow t'=t+s\cdot {\tilde {t}}(t,q,{\dot {q}}),}$

invariant, falls sich die Wirkung ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ bei dieser Ableitung nur um eine Konstante ändert

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t'_{0}}^{t'_{1}}{\text{d}}t'{\mathcal {L}}\left(t',q',{\tfrac {{\text{d}}q'}{{\text{d}}t'}}\right)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\text{d}}t{\mathcal {L}}\left(t,q,{\dot {q}}\right)+s\cdot \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\text{d}}t{\tfrac {{\text{d}}K}{{\text{d}}t}}.}$

Dazu muss die Invarianzbedingung

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}s}}\left[{\mathcal {L}}\left(t',q',{\tfrac {{\text{d}}q'}{{\text{d}}t'}}\right){\tfrac {{\text{d}}t'}{{\text{d}}t}}\right]{\bigg |}_{s=0}={\frac {{\text{d}}K}{{\text{d}}t}}\quad \quad \quad \quad (1)}$

für eine beliebige Funktion ${\displaystyle K}$ gelten. Nach Emmy Noether existiert deshalb eine Erhaltungsgröße

${\displaystyle I(t,q,{\dot {q}})=\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}{\tilde {q}}_{i}+{\Bigl (}{\mathcal {L}}-\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )}{\tilde {t}}-K\quad \quad (2)}$

• Zeittranslation: Ist die Lagrange-Funktion ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ invariant gegen die Abbildung ${\displaystyle t\rightarrow t'=t+s\cdot {\tilde {t}}}$ mit konstantem ${\displaystyle {\tilde {t}}=1}$ und ${\displaystyle {\tilde {q}}_{i}=0}$, so verschwindet die Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}{\mathcal {L}}}{{\text{d}}s}}=0}$ und ebenso ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}s}}{\tfrac {{\text{d}}t'}{{\text{d}}t}}={\tfrac {{\text{d}}{\tilde {t}}}{{\text{d}}s}}=0}$. Die Invarianzbedingung (1) führt auf die Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}K}{{\text{d}}t}}=0}$ und somit auf ein konstantes ${\displaystyle K}$, das verschwinden kann (${\displaystyle K=0}$). Die Erhaltungsgröße (2) ist dann

${\displaystyle I=\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}\underbrace {{\tilde {q}}_{i}} _{=0}+{\Bigl (}{\mathcal {L}}-\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )}\underbrace {\tilde {t}} _{=1}-\underbrace {K} _{=0}=-{\mathcal {H}}}$

und entspricht der Gesamtenergie ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ des Systems:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}\quad \quad (3)}$

• Zyklische Variable: Die Lagrange-Funktion ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ist zyklisch in der Variablen ${\displaystyle q_{i}}$, wenn sie diese nicht enthält, also invariant gegen die Abbildung ${\displaystyle q_{i}\rightarrow q'_{i}=q_{i}+s}$ mit konstantem ${\displaystyle {\tilde {q}}_{i}=1}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {q}}_{j}=0}$ für ${\displaystyle j\neq i}$ und ${\displaystyle {\tilde {t}}=0}$. Somit verschwindet die Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}K}{{\text{d}}t}}=0}$, ${\displaystyle K}$ ist konstant und kann verschwinden (${\displaystyle K=0}$). Die Erhaltungsgröße (2) ist dann

${\displaystyle I=\sum _{j}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{j}}}\underbrace {{\tilde {q}}_{j}} _{=\delta _{ij}}+{\Bigl (}{\mathcal {L}}-\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )}\underbrace {\tilde {t}} _{=0}-\underbrace {K} _{=0}={\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}}$

und entspricht dem Impuls ${\displaystyle p_{i}}$ des Systems.

• Symmetrien in einem abgeschlossenen System mit der Lagrange-Funktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{j\neq i}V_{ij}(|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|)\quad \quad (4)}$

von ${\displaystyle N}$ Punktmassen unter einer Paarwechselwirkung ${\displaystyle V_{ij}(|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|)}$:

• Zeitunabhängigkeit erhält die Gesamtenergie gemäß (3):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}}\cdot {\dot {\vec {x}}}_{i}-{\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{j\neq i}V_{ij}(|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|)}$

• Translationsinvarianz unter der Abbildung ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}'={\vec {x}}_{i}+s{\vec {b}}}$ mit konstantem Verschiebevektor ${\displaystyle {\vec {b}}}$ für alle ${\displaystyle N}$ Punktmassen ${\displaystyle m_{i}}$ hält mit ${\displaystyle |{\vec {x}}'_{i}-{\vec {x}}'_{j}|=|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|}$ und ${\displaystyle {\dot {{\vec {x}}'}}_{i}^{2}={\dot {\vec {x}}}_{i}^{2}}$ die Lagrange-Funktion (4) unverändert ${\displaystyle ({\tfrac {{\text{d}}{\mathcal {L}}}{{\text{d}}s}}=0)}$, was zur Invarianzbedingung ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}K}{{\text{d}}s}}=0}$ bzw. ${\displaystyle K=0}$ führt. Die Erhaltungsgröße (2) ist dann (${\displaystyle {\tilde {t}}=0)}$:

${\displaystyle I=\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot \sum _{i}{\vec {p}}_{i}={\vec {b}}\cdot {\vec {P}}}$

mit dem Impuls ${\displaystyle {\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}}=m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}={\vec {p}}_{i}}$ und dem Gesamtimpuls ${\displaystyle {\vec {P}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}}$. Da der Vektor ${\displaystyle {\vec {b}}}$ beliebig gewählt werden kann bleibt der Gesamtimpuls ${\displaystyle {\vec {P}}}$ auch selbst erhalten.

• Rotationsinvarianz unter der Drehung ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}'={\vec {x}}_{i}+s\,{\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i}}$ mit konstanter Drehachse ${\displaystyle {\vec {n}}}$ um den infinitesimalen Winkel ${\displaystyle s}$ für alle Punktmassen hält

${\displaystyle ({\vec {x}}'_{i})^{2}=({\vec {x}}_{i})^{2}+s\,[{\vec {x}}_{i}\cdot ({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})+({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})\cdot {\vec {x}}_{i}]=({\vec {x}}_{i})^{2}+s\,[({\vec {x}}_{i}\times {\vec {n}})\cdot {\vec {x}}_{i}+({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})\cdot {\vec {x}}_{i}]=({\vec {x}}_{i})^{2}}$

und analog

${\displaystyle ({\dot {{\vec {x}}'}}_{i})^{2}=({\dot {\vec {x}}}_{i})^{2}}$

Invariant. Aus

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {x}}'_{i}\cdot {\vec {x}}'_{j}&=({\vec {x}}_{i}+s\,{\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})\cdot ({\vec {x}}_{j}+s\,{\vec {n}}\times {\vec {x}}_{j})={\vec {x}}_{i}\cdot {\vec {x}}_{j}+s\,[{\vec {x}}_{i}\cdot ({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{j})+({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})\cdot {\vec {x}}_{j}]\\&={\vec {x}}_{i}\cdot {\vec {x}}_{j}+s\,[{\vec {x}}_{i}\cdot ({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{j})-{\vec {x}}_{i}\cdot ({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{j})]={\vec {x}}_{i}\cdot {\vec {x}}_{j}\end{aligned}}}$

folgt

${\displaystyle |{\vec {x}}'_{i}-{\vec {x}}'_{j}|=|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|}$

und die Lagrange-Funktion (4) bleibt unverändert ${\displaystyle ({\tfrac {{\text{d}}{\mathcal {L}}}{{\text{d}}s}}=0)}$, was zur Invarianzbedingung ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}K}{{\text{d}}s}}=0}$ bzw. ${\displaystyle K=0}$ führt. Die Erhaltungsgröße (2) ist dann (${\displaystyle {\tilde {t}}=0)}$:

${\displaystyle I=\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}}\cdot ({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\cdot ({\vec {n}}\times {\vec {x}}_{i})=\sum _{i}{\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}_{i}\times {\vec {p}}_{i})={\vec {n}}\cdot {\vec {L}}}$

mit dem Einzelimpuls ${\displaystyle {\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}}=m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}={\vec {p}}_{i}}$, dem Einzeldrehimpuls ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}\times {\vec {p}}_{i}}$ und dem Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i}{\vec {x}}_{i}\times {\vec {p}}_{i}}$. Da der Drehvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ beliebig gewählt werden kann bleibt der Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}}$ in einem abgeschlossenen System auch selbst erhalten.

• Relativität in der klassischen Mechanik besagt, dass die Newtonschen Bewegungsgleichungen unter der Galilei-Transformation ${\displaystyle t\rightarrow t'=t}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}\rightarrow {\vec {x}}_{i}'={\vec {x}}_{i}+s{\vec {v}}t}$ mit konstanter Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle {\vec {\tilde {x}}}_{i}={\vec {v}}t}$, ${\displaystyle {\tilde {t}}=0}$ und infinitesimalem ${\displaystyle s}$ invariant ist. Damit bleibt für alle ${\displaystyle N}$ Punktmassen ${\displaystyle m_{i}}$ deren Abstand ${\displaystyle |{\vec {x}}'_{i}-{\vec {x}}'_{j}|=|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|}$ invariant und die Geschwindigkeit wird zu ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{i}'={\dot {\vec {x}}}_{i}+s{\vec {v}}}$ mit dem Betragsquadrat

${\displaystyle {\dot {{\vec {x}}'}}_{i}^{2}={\dot {\vec {x}}}_{i}^{2}+2s{\vec {v}}\cdot {\dot {\vec {x}}}_{i}+s^{2}v^{2}}$.

Dadurch verändert sich die die Lagrange-Funktion ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{j\neq i}V_{ij}(|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|)}$ zu:

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\vec {x}}',{\dot {{\vec {x}}'}})={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{j\neq i}V_{ij}(|{\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{j}|)+s{\vec {v}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}+{\tfrac {1}{2}}s^{2}v^{2}\sum _{i}m_{i}}$

Mit der Schwerpunktslage ${\displaystyle {\vec {X}}}$ und der Gesamtmasse ${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}}$ gilt ${\displaystyle M{\vec {X}}=\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}}$ lautet die Lagrange-Funktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\vec {x}}',{\dot {{\vec {x}}'}})={\mathcal {L}}({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})+{\tfrac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}t}}(s{\vec {v}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\vec {x}}_{i}+{\tfrac {1}{2}}ts^{2}v^{2}\sum _{i}m_{i})={\mathcal {L}}({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})+{\tfrac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}t}}(sM{\vec {X}}\cdot {\vec {v}}+{\tfrac {1}{2}}ts^{2}v^{2}M)}$

Die Invarianzbedingung (1) lautet mit ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}t'}{{\text{d}}t'}}=1}$

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}s}}\left[{\mathcal {L}}\left(t',q',{\tfrac {{\text{d}}q'}{{\text{d}}t'}}\right){\tfrac {{\text{d}}t'}{{\text{d}}t}}\right]{\bigg |}_{s=0}=\left[{\tfrac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}t}}(M{\vec {X}}\cdot {\vec {v}}+tsv^{2}M)\right]{\bigg |}_{s=0}={\tfrac {{\text{d}}\,\,}{{\text{d}}t}}(M{\vec {X}}\cdot {\vec {v}})={\tfrac {{\text{d}}K}{{\text{d}}t}}}$

Das führt zunächst auf ${\displaystyle K=M{\vec {X}}\cdot {\vec {v}}}$. Die Erhaltungsgröße (2) ist dann:.

${\displaystyle I=\sum _{i}\underbrace {\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}} _{=m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}}\cdot \underbrace {{\vec {\tilde {x}}}_{i}} _{={\vec {v}}t}+{\Bigl (}{\mathcal {L}}-\sum _{i}{\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\,\partial {\dot {\vec {x}}}_{i}}}\cdot {\dot {\vec {x}}}_{i}{\Bigr )}\underbrace {\tilde {t}} _{=0}-\underbrace {K} _{=M{\vec {X}}\cdot {\vec {v}}}=\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}\cdot {\vec {v}}t-M{\vec {X}}\cdot {\vec {v}}=M({\dot {\vec {X}}}t-{\vec {X}})\cdot {\vec {v}}}$

und entspricht dem geradlinig gleichförmig bewegten Schwerpunkt ${\displaystyle {\vec {X}}={\dot {\vec {X}}}t}$ des Systems.